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1、第 1 页 共 7 页山东财政学院20092010 学年第 1 学期期末考试应用随机过程 试卷(A )（考试时间为 120 分钟）参考答案及评分标准考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07 级 出题教师 张辉 一判断题（每小题 2 分，共 10 分，正确划，错误划）1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。 （ ）2. 非周期的正常返态是遍历态。 （ ）3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。 （ ）4. 有限马尔科夫链没有零常返态。 （ ）5若状态 i 有周期 d, 则对任意 , 一定有： 。 （ ）1n0)(ndip二填空题（每小题 5 分，共 10 分
2、）1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为 10000 元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是240000 元。2若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为 1。三简答题（每小题 5 分，共 10 分）1 简述马氏链的遍历性。答：设 是齐次马氏链 的 步转移概率， ，如果对任意 存在不)(nijp,nXIji,依赖于 的极限 ，则称齐次马氏链 具有遍历性。0)(jnijp1,nX第 2 页 共 7 页2 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：
3、强度 不再是常数，而是与 有t关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。四计算、证明题（共 70 分）1. 请写出 CK 方程，并证明之. （10 分）解：2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15 分）解：若 是一个泊松过程，是 一族独立同分布的随机变量，并0),(tNL,1,iY第 3 页 共 7 页且与 也是独立的， = ，那么 复合泊松过程0),(tX)(tXtNiY10),(tX3. 顾客以泊松过程到达某商店，速率为 ，已知商店上午 9：00 开门，求小 时人4到 9：30 时仅
4、到一位顾客，而到 11：30 时总计已达 5 位顾客的概率。 （10 分）4. 设 是一马氏链， ，1,nX2,10I第 4 页 共 7 页，初始分布41302P.2,10,3)0(0iXpi试求（1） （7 分）,20Xp（2） （8 分）12解：（1） )2(0102020 1, pXpXXp 由于 41653282)(P可知， ，于是，165)2(0p485163)0(10, 210220 pXpXX（2）由全概率公式，= +1p020020X+ 200XX= + + = （ + + ）=)(01p)2(1)2(1p36519245. 设 是一随机游动， ，转移概率为：,nL,0jI第
5、5 页 共 7 页L,321,0,1,0,jqpj（1）画出转移概率图，写出一步转移概率阵. （5 分）（2）说明这是何种类型的随机游动（有无反射壁或吸收壁？哪几个状态是？） （5 分）(3) 求其平稳分布 （10 分）L,210,j解：（1）图略。 LL00qpP（2）是具有一个反射壁的随机游动，状态 0 是反射壁。(3)设马氏链存在极限分布 ，则有方程组iL,321,1100jqpjj解得 01pjjjjjj qqp )p(1111 ， 即由得 11jjjj p从而有， 012q得 ，类推，得 ，因而，当 时，0212)(p0)(jjqp1)(qp第 6 页 共 7 页由 ，可得，10jjqp10a, 当 时，该随机游动时正常返，马氏链是遍历的，2， 状态的平均返回时间L,10),1()jqpjjj jj1第 7 页 共 7 页b，当 时， 级数 发散，随机为零常返，21p,q0)(jjqp,1jjc. 当 时，无极限分布，各状态为非常返。
