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1、3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教材及教学任务分析本节课教学内容是是普通高中课程标准实验教科书 数学（必修 1）（人教 A 版）中第三章的第二节“几类不同增长的函数模型”（第一课时） 。 学生在前面已初步了解了指数函数以及幂函数的概念、图像及其基本性质，但在实际问题中，我们经常会面临如何选择恰当的函数模型来刻画一个实际问题，故而需要分析不同函数的增长差异。.本节课应充分利用计算器或计算机等工具作出一些特殊的指数函数、幂函数的表格、图象，利用图象的形象直观得到函数图象的增长差异，进而归纳总结出一般规律，为今后正确选择函数模型，解决实际问题打下基础。让学生体会研究指数函数和幂函数的增长差异思
2、想方法，学会运用。体验函数模型的实际应用，学习数学的目的，关键在于应用数学去解决有关实际问题。二、教学目标知识与目标：1借助信息技术，恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法） ，理解指数函数、幂函数的增长差异。2.结合实例体会指数爆炸、幂函数增长的函数模型的意义.过程与方法：1、学习借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 比较指幂函数的增长情况的探究方法，体会信息技术在数学课堂中的作用.2、逐步发展学生的观察、操作、探索、抽象概括等各方面的能力。3、体会从特殊到一般概括、比较分析的数学思想。情感态度与价值观1、体会数学在现实问题中的密切应用，培养学生数学应用意识。 2、培养学生
3、合作交流、独立思考等良好的数学品质. 激发学生的学习热情。三、教学重点、难点：重点：理解指幂函数增长差异的一般规律，体会不同增长的函数在实际中应用。难点：通过信息技术列表作图，总结归纳出指数函数和幂函数增长差异一般规律的探究过程四、教具准备多媒体五、教学过程环 节教 学 内 容 设 计 设计意图情景引入师：我们知道，函数是描述客观世界事物发展变化的重要数学模型，通过分析函数的基本性质，可以帮助我们解决很多实际问题。下面就是这样一个例子下表是某环保局在湖边检测到的浮萍植物面积随着时间的变化情况：时间t(月)2 3 4 5 6 7 8 .面积y(m2)23 28 38 60 101 184 351
4、 .为了预测浮萍的蔓延面积，环保局的工作者考虑多种因素得出下面两个函数模型， 和xykab，究竟选哪个好呢？nymx生：经讨论回答，根据表格数据走势和函数特点大概估计；待定系数法看哪个函数更贴近数据。师：待定系数法很好，可是，我们究竟待定谁的系数呢？所以，不妨先根据数据特点推测函数模型。这就需要我们了解指幂函数的增长不同，也是我们本节课重点研究的问题。1、从生活走向数学，体会数学来源于生活，服务于生活的本质。2、形成问题情境，产生研究指幂函数不同的需要，激发学生的学习兴趣。3、引出本课课题。提出问题合作探究师：为了研究指幂函数的增长差异，首先我们从两个具体的函数出发。和 ，定义域2xy2y(0
5、,)怎么研究它们增长差异呢？生：画图，观察图像师：同学们现在试着在同一个坐标系中画出这两个函数的图像。生：动手操作师：大家画出两个函数图像几个交点？自变量在不同区间函数值大小关系怎样？生回答。师：对不对呢？我们通过计算机列表，画出精确的图像看看。现在你知道两函数值之间的大小关系了吗？生讨论回答师：总结， 和 图像有两个交点2xy2y（2，4） ， （4，16） ，函数在自变量不同区间内有不同的大小关系， （0，2）上 ， （2，4）上 。x2xx=4 以后，又出现 21、学习借助函数图象及数据表格, 比较指幂函数的增长情况的探究方法，2、体会信息技术在数学课堂中的作用3、发展学生的观察、操作、
6、探索、抽象概括等各方面的能力，培养学生合作交流、独立思考等良好的数学品质。4、体会比较分析的数学思想0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 6536 0 4 16 36 64 10 14 196 256 xy2师：x=4 之后，图像还会有交点吗? 有可能再次出现 吗？2x生：在更大的范围内观察 和2xy2y的图像(0,)师：用计算机列出 x 与 y 的对应值表，并在同一坐标系中作出图像观察这时两个函数图像，它们的增长情况如何呢？生讨论回答师总结：当自变量 x 越来越大时， 的图像就2xy像与 x 轴垂直一样， 的值快速增长， 比起
7、 来几2x乎有些微不足道。到这里，大家说在（4，16）后图像还会有交点吗？显然，没有。即 x4 时，总有 。x2质疑提高师：那么 时，x 足够大后，幂函数的增长速3y度会不会超过指数函数呢？生讨论作图师：用计算机绘制图像，发现什么？生：当自变量足够大时，指数函数增长速度亦然远远大于幂函数， 。2x师：我们逐渐增加幂函数的次数，观察这一动态过程中指幂函数图像的位置关系生：当自变量 x 足够大时，指数函数增长速度依旧远远大于幂函数，指函数大于幂函数的值。师：如果指数底数变大呢？结果怎样？生：结果不变。师用多媒体展示动态过程。1、培养学生严谨的思维，由特殊到一般的数学思想。2、培养学生观察、猜想、概
8、括的数学能力。3、让学生体会信息技术在数学中的重要作用。0 10 20 30 40 50 60 70 80 1 1024 1.E+061.E+091.E+121.E+151.E+181.E+211.E+24 0 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 xy2总结拔高师：那么怎样用准确的语言来概括我们今天这一发现呢？同学们小组交流讨论。得出结论：一般地，对于指数函数 和幂函数(1)xya，在区间 上，无论 n 比 a 大多少，(0)nyx(0,)尽管在 x 的一定变化范围内， 会小于 ，但是由于x的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当an 0x时，就会有0xx
9、na1、使学生感受由自然语言向数学语言的过度。2、培养学生概括能力，良好的数学思维和严谨的科学态度。问题解决师：我们利用 Excle 画出本课开头浮萍面积和时间的变化关系散点图和走势曲线，有什么特点？生：一定时间后面积随时间迅速增加，师：用哪个模型刻画这一变化关系呢？生：指数函数。数学知识解决实际问题，让学生感受到数学服务于生活，激发学习的热情。验证猜想师：到底是不是呢？如果真的是指数函数，式中系数又如何确定呢？我们借助 Excle，精确找到拟合数据的函数式。经验证我们的猜想是正确的。生疑问：怎么计算得来的呢？系数如何确定的呢？师：学习了下节课的内容后，我们便可以求出具体的函数式了，有兴趣的同
10、学可以预习。验证猜想，培养学生严谨的数学态度，让学生感受信息技术在数序中重要而广泛的应用。课堂小结师：回顾下我们这节课所学的内容，谁能总结一下这节课的收获？生：我们了解了指数函数和幂函数的增长差异，并体会到数学模型在实际问题中的重要应用。师：通过我们这节课的学习，你能根据我们研究指幂函数增长差异的方法，对对数函数和幂函数的增长情况进行比较吗1、使学生对整堂课有了整体的把握，明确知识重点2、体现了新课标中过程与方法的教学目标，有助于学生掌握研究函数的思想方法。作业1、课本 P101 练习题2、你能用同样的方法，课下讨论函数 ， 和 (01)xya(0)nyx在区间 上的衰减情况么？log(0,)巩固本节课所学知识的同时，通过第 2 道作业题更加全面的理解函数模型的变化问题。七、板书设计1.3.1 几类不同增长的函数模型定义对于指数函数 和幂函数(1)xya(0)nyx无论 n 比 a 大多少，总存在一个 ，当 时，0就会有 。x
