《初中几何证明题【绝对经典】》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中几何证明题【绝对经典】(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、几何证明1.点A、B、C在同一直线上,在直线AC的同侧作和,连接AF,CE取AF、CE的中点M、N,连接BM,BN, MN(1)若和是等腰直角三角形,且(如图1),则是三角形(2)在和中,若BA=BE,BC=BF,且,(如图2),则是三角形,且 .(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3),其他条件不变,那么(2)中的结论是否成立? 若成立,给出你的证明;若不成立,写出正确的结论并给出证明.2.如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究:设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时,
2、线段PQ与PB之间有怎样的数量关系?试证明你的猜想;(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值范围;(3)当点P在线段AC上滑动时,PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值,如果不可能,试说明理由.3.(1)如图1,四边形中,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论;(2)如图2,四边形中,若点为四边形内一点,且,请你猜想线段、之和与线段的数量关系,并证明你的结论图图2 4. (1)如图1,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是边BC、CD上的点,且
3、EAF=BAD.求证:EFBEFD; 图1 图2 图3 (2) 如图2在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立?不用证明. (3) 如图25-3在四边形ABCD中,ABAD,B+ADC180,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.5. 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点探究:AM与DE的位置及数量关系(1)如图 当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是
4、 ,线段AM与DE的数量关系是 ;(2)将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由6.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC在第一象限内,E是边OB上的动点(不包括端点),作AEF = 90,使EF交矩形的外角平分线BF于点F,设C(m,n)(1)若m = n时,如图,求证:EF = AE;(2)若mn时,如图,试问边OB上是否还存在点E,使得EF = AE?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由(3)若m = tn(t1)时,试探究点E在边OB的何处时,使得EF =(t + 1)AE成立?并求出点E的坐标xOEBAy
5、CFxOEBAyCFxOEBAyCF7.如图1,已知ABC=90,ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F.(1)如图2,当BP=BA时,EBF=,猜想QFC= ;(2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想QFC的度数,并加以证明;(3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为y,求y关于的函数关系式图1ACBEQFP图2ABEQPFC8. 如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABC90,已知ADAB3,BC4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D
6、出发,沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点NP、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);(2)当t为何值时,四边形PCDQ构成平行四边形?(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由;(4)探究:t为何值时,PMC为等腰三角形?9如图所示,在ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,DEBC,如图,然后将ADE绕A点顺时针旋转一定角度,得到图,然后将BD、CE分别延长至M、N,使DMBD,
7、ENCE,得到图,请解答下列问题:(1)若ABAC,请探究下列数量关系:在图中,BD与CE的数量关系是_;在图中,猜想AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系,并证明你的猜想;(2)若ABkAC(k1),按上述操作方法,得到图,请继续探究:AM与AN的数量关系、MAN与BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明1、解:(1)等腰直角 (2)等腰 (3)结论仍然成立 证明: 在 ABFEBC.AF=CE. AFB=ECB M,N分别是AF、CE的中点,FM=CN.MFBNCB.BM=BN. MBF=NBC MBN=MBF+FBN=FBN+NBC=FBC= 2、解:(1) PQ=PB 过P
8、点作MNBC分别交AB、DC于点M、N 在正方形ABCD中,AC为对角线 AM=PM 又AB=MN MB=PN BPQ=900 BPMNPQ=900 又MBPBPM =900 MBP= NPQ RtMBPRtNPQ, PB=PQ (2)S四边形PBCQ=SPBCSPCQ AP=x AM=x CQ=CD2NQ =1x 又SPBC=BCBM=1(1x)= -x SPCQ =CQPN=(1x)(1x) = S四边形PBCQ=x1 . (0x) (3)PCQ可能成为等腰三角形. 当点P与点A重合时,点Q与点D重合, PQ=QC ,此时,x=0. 当点Q在DC的延长线上,且CP=CQ时, 有:QN=AM
9、=PM=,CP=x,CN=1 CQ=QNCN =(1) =x1 当 x=1时 ,x=1 3、解:(1)如图,延长至,使可证明是等边三角形 联结,可证明 故 图1图2(2)如图,在四边形外侧作正三角形, 可证明,得 四边形符合(1)中条件, 联结,)若满足题中条件的点在上,则 )若满足题中条件的点不在上, , 综上, 4、答案(1)证明:延长EB到G,使BG=DF,联结AG. ABGABC=D90, ABAD,ABGADF.AGAF, 12 1+32+3=EAF=BADGAE=EAF又AEAE,AEGAEF.EGEF EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的结论EF= BEFD仍然成
10、立. (3)结论EF=BEFD不成立,应当是EF=BEFD 证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AGB+ADC180,ADF+ADC180,BADFABAD,ABGADF.BAGDAF,AGAF BAG+EADDAF+EAD=EAF =BADGAE=EAFAEAE,AEGAEF.EGEF EG=BEBG EF=BEFD 5、答案:解:(1), (2)结论仍然成立。证明:如图,延长CA至F,使FA=AC,FA交DE于点P,并连结 ,在与中:(SAS) .BF=DE, . .又CA=AF, CM=MB,AM / FB 且AM=FB, AM=DE 6、答案:(1)由题意得m = n时,AOBC
11、是正方形如图,在OA上取点C,使AG = BE,则OG = OE EGO = 45,从而 AGE = 135由BF是外角平分线,得 EBF = 135, AGE =EBF AEF = 90, FEB +AEO = 90在RtAEO中, EAO +AEO = 90, EAO =FEB, AGEEBF,EF = AE(2)假设存在点E,使EF = AE设E(a,0)作FHx轴于H,如图来源:学科网ZXXK由(1)知EAO =FEH,于是RtAOERtEHF FH = OE,EH = OA 点F的纵坐标为a,即 FH = a由BF是外角平分线,知FBH = 45, BH = FH = a又由C(m,
12、n)有OB = m, BE = OBOE = ma,xOEBAyCFG EH = ma + a = m又EH = OA = n, m = n,这与已知mn相矛盾因此在边OB上不存在点E,使EF = AE成立(3)如(2)图,设E(a,0),FH = h,则EH = OHOE = h + maHxOEBAyCF由 AEF = 90,EAO =FEH,得 AOEEHF, EF =(t + 1)AE等价于 FH =(t + 1)OE,即h =(t + 1)a,且,即,整理得 nh = ah + ama2, 把h =(t + 1)a 代入得 ,即 ma =(t + 1)(na)而 m = tn,因此
13、tna =(t + 1)(na)化简得 ta = n,解得 t1, nm,故E在OB边上当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件,此时E(,0)7、答案:(1) 30. = 60 (2)=60 不妨设BP, 如图1所示BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAPBAP=EAQ. 在ABP和AEQ中 AB=AE,BAP=EAQ, AP=AQABPAEQ(SAS )AEQ=ABP=90 BEF=60 (事实上当BP时,如图2情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分) (3)在图1中,过点F作FGBE于点G ABE是等边三角形 BE=AB=,由(1)得30 在Rt
14、BGF中, BF= EF=2 ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF 过点Q作QHBC,垂足为H在RtQHF中,(x0)即y关于x的函数关系式是:. 8、答案:解:(1)在直角梯形ABCD中,QNAD,ABC90,四边形ABNQ是矩形。QD=t,AD=3,BN=AQ=3-t,NC=BC-BN=4-(3- t)= t+1。AB3,BC4,ABC90,AC=5。QNAD,ABC90,MNAB,即,.(2)当QD=CP时,四边形PCDQ构成平行四边形。当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形。(3)MNAB,MNCABC,要使射线QN将ABC的面积平分,则MNC与ABC的面积比为1
15、:2,即相似比为1:,即,t=.CN=,MC=,CN+MC=,ABC的周长的一半=6,不存在某一时刻,使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分。(4)分3种情况:如图,当PM=MC时,PMC为等腰三角形。则PN=NC,即3-t-t=t+1,即时,PMC为等腰三角形。如图,当CM=PC时,PMC为等腰三角形。即,时,PMC为等腰三角形。如图,当PM=PC时,PMC为等腰三角形。PC=4t,NC=t+1,PN=2t-3,又,MN=,由勾股定理可得2+(2t-3)2=(4t)2,即当t=时,PMC为等腰三角形。9、答案:(1)BD=CE;AM=AN,MAN=BAC 理由如下:在图中,DE/BC,AB=ACAD=AE.在ABD与ACE中ABDACE.BD=CE,ACE=ABD.在DAM与EAN中,DM=BD,EN=CE,BD=CE,DM=EN,AEN=ACE+CAE,ADM=ABD+BAD,AEN=ADM.又AE=AD,ADMAEN.AM=AN,DAM=EAN.MAN=DAE=BAC.AM=AN,MAN=BAC.(2) AM=kAN,MAN=BAC.- 1 -