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1、第二节 函数的单调性与最值,三年9考 高考指数:1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质,1.确定函数的单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值、比较函数值大小,是高考的热点及重点.2.常与函数的图像及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现,若与导数交汇则以解答题形式出现.,1.函数在区间上是增加(递增)的、减少(递减)的含义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,且x1x2,则:(1)f(x)在区间A上是增加(递增)的_;(2)f(x)在区间A上是减少(递减)的_.,f(x1)f(x2),【
2、即时应用】(1)思考:函数在某区间上是增加或减少的,分别有何几何特征?提示:若函数在某区间上是增加的,则其图像是上升的;若是减少的,则其图像是下降的.,(2)如果函数f(x)在a,b上是增加的,对于任意的x1、x2a,b(x1x2),判断下列结论的真假(在括号内填“真”或“假”) ( )(x1-x2)f(x1)-f(x2)0; ( )f(a)f(x1)f(x2)f(b); ( ) ( ),【解析】当函数f(x)在a,b上是增加的时,对于任意的x1、x2a,b(x1x2),均能得出真,假答案:真 真 假 真,(3)已知函数f(x)在R上是减少的,若mf(n);若f(|x|)1,得:x1或x x|
3、x1或x-1,(4)若函数y=ax与y= 在(0,+)上都是减少的,则y=ax2+bx在(0,+)上是_函数(填“增加的”或“减少的”).【解析】由y=ax在(0,+)上是减少的,知a0; 由y= 在(0,+)上是减少的,知b0y=ax2+bx的对称轴x= 0,又y=ax2+bx的开口向下, y=ax2+bx在(0,+)上是减少的答案:减少的,2.单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间:如果y=f(x)在区间A上是_或是_,那么称_为单调区间.(2)单调性:如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是_的或是_的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.(3)单调函数:如果函数y=f(
4、x)在整个定义域内是_的或是_的,那么分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.,增加的,减少的,A,增加,减少,增加,减少,【即时应用】(1)思考:若函数f(x)在区间a,b(ax2-1,则x1x2-1,x2-x10,x2+10,即y1-y20,y1y2. 在(-1,+)上是减函数.,方法二:(导数法) 在(-1,+)上,y0时,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)0,即f(x1)0时为减函数,当a0时,f(x)0.故f(x)在(-1,1)上,当a0时为减函数,当a0时为增函数.,【反思感悟】判断(或证明)函数单调性(区间),一定要先确定函数的定义域,然后根据所给函数的结构特征及要求
5、选择合适的方法求解,并且结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区间不连续时,一般用“逗号”隔开.,【变式备选】已知函数f(x)对于任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)=(1)求证:f(x)在R上是减函数;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值,【解析】(1)方法一:函数f(x)对于任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0,得f(0)=0再令y=-x,得f(-x)=-f(x)在R上任取x1x2,则x1-x20,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2),又x0时,f(x)0而x1-x20,f(x
6、1-x2)0,即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数,方法二:在R上任取x1,x2,不妨设x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)又x0时,f(x)0,而x1-x20,f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数.,(2)f(x)在R上为减函数,f(x)在-3,3上也为减函数,f(x)在-3,3上的最大值为f(-3),最小值为f(3),f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-2,0=f(0)=f(3-
7、3)=f(3)+f(-3),f(-3)=-f(3)=2,因此,f(x)在-3,3上的最大值为2,最小值为-2.,应用函数的单调性【方法点睛】应用函数的单调性可求解的类型(1)由x1,x2的大小,可比较f(x1)与f(x2)的大小;(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系,可得x1与x2的大小关系;(3)求解析式中参数的值或取值范围;(4)求函数的最大值、最小值;(5)得到图像的升、降情况,画出函数图像的大致形状.,【例2】(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)f(0).,方法二:由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图像的大致形状为由图像知f(2)f(-1)f(0).答案:f(2
8、)f(-1)f(0),【互动探究】若将本例(1)中条件变为:f(x)为0,4上的增函数,则m的取值范围如何?【解析】由题意知:1f(h(x))”的形式,再利用单调性脱去符号“f”,转化为具体不等式求解,但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择、填空题常用数形结合法求解.,【变式备选】已知函数f(x)对于任意a,bR,总有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(3)若关于x的不等式f(nx
9、-2)+f(x-x2)2恒成立,求实数n的取值范围,【解析】(1)设x1,x2R,且x1x2,则x2-x10,f(x2-x1)1 ,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10,f(x1)f(x2)f(x)在R上是增函数.,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,不等式f(3m2-m-2)3即为f(3m2-m-2)f(2).又f(x)在R上是增函数,3m2-m-22,解得-1m因此不等式的解集为m|-1m .,(3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1.f(nx-2)+f(x-x2)2,即f(nx-2)+f(x-x2)-11,f(nx-2+x-x2)f(0)由(1)知nx-2+x-x20恒成立,即x2-(n+1)x+20恒成立=-(n+1)2-420,即实数n的取值范围是,