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1、专题复习之极坐标系与参数方程一、知识精讲（一） 、极坐标知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,点 P(x,y)对(0):xyg应到点 ,称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.()Pxy知识点二、极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极OOx轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐
2、标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设 M 是平面内一点,极点 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线OOx为终边的角 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 叫做点 M 的极坐标,记作 .Ox()(,)一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.0,特别地,当点 在极点时,它的极坐标为(0, )( R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标0,2 ()表示的点也是唯一确定的.(,)知识点三、极坐标和直角坐标的互化
3、(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 ( ),于是极M()xy,)0坐标与直角坐标的互化公式如表:点 直角坐标 (,)xy极坐标 (,)互化公式cosiny22tan(0)xy在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.tanM知识点四、常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为 的圆r (02)r圆心为 ,半径为 的圆(0)rr 2cos()2r圆心为 ,半径为 的圆()2rr sin(0)r过极点,倾斜角为 的直线(
4、1) ()()RR或(2) 00和过点 ,与极轴垂直的直线(0)a cos()2a过点 ,与极轴平行的直()2a线sin(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 都表(,)2),(),(),示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 点 可以表示为,(,)4M等多种形式,其中,只有 的极坐标满足方程 .5(,2)(,2)444或 或 - （二） 、参数方程知识点一、参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数 ,并,xyt()xfty
5、g且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点 都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的t ()M参数方程,联系变数 的变数 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的,xyt方程叫做普通方程.知识点二、参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数 中的一个与参数 的关系,例如 ,把它代入普通方程,求出另一个变数与,xyt()xft参数的关系 ,那么 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使()ygt()ftg的取值范围保持一致.,x注：普通方程化为参数方程，
6、参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。知识点三、圆的参数如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，OrM0 O设 ，则 。(,)Mxycos()inr为 参 数这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。r0M圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，(,)ab22()()xaybr它的参数方程为： 。cosinxary为 参 数知识点四、椭圆的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为Ox21(0)
7、,xyab，其中参数 称为离心角；焦点在 轴上的椭圆的标准方程是cos()inxayb为 参 数 其参数方程为 其中参数 仍为离心角，通常规定参数21(0),acos(),inxbya为 参 数 的范围为 0，2 ） 。注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内） ，在其他任何 02一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。02知识点五、双曲线的参数方程以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 其参数方程为Ox21(0,),xyab，其中s
8、ec()tanxyb为 参 数 30,2),.2且焦点在 轴上的双曲线的标准方程是 其参数方程为21(0,),yxabcot(0,).sxbeya为 参 数 ， 其 中 且以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。知识点六、抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为2(0)ypx2().xpty为 参 数知识点七、直线的参数方程经过点 ，倾斜角为 的直线 的普通方程是 而过0(,)Mxy()2l00tan(),x，倾斜角为 的直线 的参数方程为 。0(,)l0cosinxty()t为 参 数注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为0(,)M
9、l，其中 表示直线 上以定点 为起点，任一点 为终点的有向线段0cosinxty()t为 参 数 tl0(,)Mxy的数量，当点 在 上方时， 0；当点 在 下方时， 0；当点 与 重合时，0Mur0Mt0t0=0。我们也可以把参数 理解为以 为原点，直线 向上的方向为正方向的数轴上的点 的坐标，其t t l单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。二、经典例题1、下列在曲线 上的点是（ ）sin2()coixy为 参 数A B C D(,)231(,)42,3(1,3)2、将参数方程 化为普通方程为（ ）2sin)xy为 参 数A B C D2(3)yx2(01)yxy3、极坐标方程 cos2in表示的曲线为（ ）A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆4、已知点 (,)Pxy是圆2y上的动点，（1）求 2的取值范围；（2）若 0xya恒成立，求实数 a的取值范围。5、参数方程cos(incs)()xy为 参 数表示什么曲线？6、已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程。（2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到 两点的距离之积l42yx,ABP,7、求直线1:()53xtly为 参 数和直线 2:30lxy的交点 P的坐标，及点与 (,)Q的距离。
