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1、 1圆锥曲线过定点问题：一、小题自测1. 无论 取任何实数，直线 必经过一个定点，则这个定点的坐标k 0)142()3()41( kykx为 .2. 已知直线 ；圆 ，则直线 与圆 的位置关系为 .02:bayxl :2xClC二、几个常见结论：满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。1、过定点模型： 是圆锥曲线上的两动点， 是一定点，其中 分别为 的倾斜角，则有,ABM,MAB下面的结论：、 为定值 直线 恒过定点； 、 为定值 直线 恒过定点；MurAMBk、 直线 恒过定点.(0)A2、抛物线中的过定点模型： 是抛物线 上的两动点，其中
2、 分别为 的倾,2(0)ypx,O斜角，则可以得到下面几个充要的结论：直线 恒过定点 .1OABk(2,)p3、椭圆中的过定点模型： 是椭圆 上异于右顶点 的两动点，其中 分别,21(0)xyabD,为 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：,D直线 恒过定点 .12DABkAB2(,0)acb三、方法归纳：参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊
3、情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组） ，求出相应的直线（或曲线） ，然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。 2四、例题分析：例 1：过椭圆 的左顶点 A 作互相垂直的直线分别交椭圆于 M，N 两点.求证：直线 MN 过定点，214xy并求出该定点坐标证明：解法一：设 ，直线 .12(,)(,)MxyN:MNykxm2248404ykmkmxx，121220,xkV则 且 121yAx由 得， ，2()()40kkx22
4、 248()()40mkmk化简得： 2256,5160mkQ解得： ，直线 ，过定点 .k或 （ 舍 ） :()MNyx(,)5解法二：（考查极端位置、特殊位置确定出定点，从而转化为一般性证明题）令 ，此时 ，所以直线 过定点 .228114kk28645kMN6(,0)5当 ， .22 245,86()1CMkk 22864(1)5CNkk三点共线，即：直线 过定点 .,CNk (,0)解法三：设直线 ，则直线:(2)0Aykx1:2AMyxk22()(146144ykxk 22 26484,11MMkkyQ所以点 ，同理：点228(,)kM228(,)kN，直线2224518(1)Nkk
5、k 222458:, ()1)14kkMyx 3令 得 ，所以直线 过定点 .0y222816()(14)6455kkx MN6(,0)5例 2：2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I 卷）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点C21xyab01P或201或32P或4312P或在椭圆 上（1）求 的方程；（2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，l2PCAB2A2B1证明： 过定点分析：出现 （ 是曲线上一动点， 是曲线另外两点），可以得到直线,PABPABkk ,过定点。AB解：（1）根据椭圆对称性，必过 、 ，又 横坐标为 1，椭圆必
6、不过 ，所以过 三点344P1P234P或将 代入椭圆方程得 ，解得 ， 椭圆 的方程为： 23012P或 2214ba24a21bC214xy（2） 当斜率不存在时，设 :AAlxmyBmy， ， ， ，得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足221AAPABykml当斜率存在时，设 ， 1lykb 12xx或联立 ，整理得 ， ， ，则240kxby24840kb12284kb214bxk2212PABkx212121xkxx 284kb814b或又 此时 ，存在 使得 成立bk64k0直线 的方程为 ，当 时， ，所以 过定点 lyyl或小结：此类问题的解题步骤：第一步：设直线
7、 的方程为 ，联立曲线方程得根与系数的关系，用 求出参数的取值范围；ABykxm 0第二步：由 与 的关系，得到一次函数 或者 ；P()kf()mfk第三步：将 或者 代入 ，得()kfm()fkyxyxy定 定 4例 3：已知左焦点为 F(1，0)的椭圆过点 E(1， )过点 P(1，1)分别作斜率为 k1，k 2的椭圆的23动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点（1）求椭圆的标准方程； （2）若 P 为线段 AB 的中点，求 k1；（3）若 k1+k2=1，求证直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标分析：第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动
8、弦，则两动弦的中点所在直线过定点解：依题设 c=1，且右焦点 (1，0)所以，2a= = ，F EF223(1)3b2=a2c 2=2，故所求的椭圆的标准方程为 23yx(2)设 A( ， )，B( ， )，则 ， 1xy2xy2121，得 112121()03y所以，k 1= (3)依题设，k 1k 22121)4(63Pyxxxy设 M( , )，直线 AB 的方程为 y1=k 1(x1)，即 y=k1x+(1k 1)，亦即 y=k1x+k2，M代入椭圆方程并化简得 221(3)60kxk于是， ， 同理， ， 123kx21My123Nx123Nyk当 k1k20 时，直线 MN 的斜率
9、 k= = Nyx2146()9k12069直线 MN 的方程为 ，221121063()93kkyk即 ，亦即 212122106(9yxkkk 210693kyx此时直线过定点 当 k1k2=0 时，直线 MN 即为 y 轴，此时亦过点 ,)3 (,)综上，直线 MN 恒过定点，且坐标为 (0,)3小结：此类问题的解题步骤：（交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤）第一步：设其中一条直线的斜率为 ，求出直线方程；1k第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示这条弦的中点，并且类比 5出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两步，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第
10、四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。拓展：若过抛物线的某定点作两条直线，这两条直线的斜率之和(积)为定值，那么两条线的中点连线必过一定点。五、练习反馈：1如图，已知椭圆 ，直线 l： ，A，B 是长轴的两端点，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一214xy4x点，设直线 AM 交直线 l 于点 P，直线 BM 交直线 l 于点 Q，则以 PQ 为直径的圆 C 经过定点 . 2.已知椭圆 的上顶点为 ，直线2:14xyC:lykxm交椭圆于 两点，设直线 的斜率分别为 .,PQ,AQ12,（1）若 时，求 的值；0m12k（2）若 时，证明：直线 过定点.12k:lykx3.已知椭圆 经过点 ，它
11、的左焦点为 ，直线 与椭圆2:10xyCab31 2， 0Fc， 1:lyxc交于 ， 两点， 的周长为 .ABAF 3（1）求椭圆 的方程；（2）若点 是直线 上的一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 、 ， 分别为P2:lyxcPCPMN ，切点，求证：直线 过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆 上一点MN 2:10xyab的椭圆的切线方程为 ）.0 xy， 021xyabA BOyxMPQl:x=4 64.已知椭圆 C：21xyab（ 0a）过点 (21)P， ，且离心率为 2。过点 P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A、 B两点（ 、 与点 不重合） 。求证：直线 AB过定点，并求
12、该定点的坐标。5.已知椭圆 的中心在坐标原点，离心率 ，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合C2e214yx（1）求椭圆 的方程；（2）过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 ，1,03SlC,ABT使得无论 如何转动，以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由lABTT 76.已知 、 分别为椭圆 : 的上、下焦点,其中 也是抛物线 的焦点,点1F21C2(0)yxab1F2:4Cxy是 与 在第二象限的交点,且 .M1C2 15|3MF（1）求椭圆 的方程.（2）已知点 和圆 : ,过点 的动直线 与圆 相交于不同的两点 ,在线段 上(,3)PO22xybPlOAB取一点 ,满足: , ,( 且 ).求证:点 总在某定直线上.QABurQur01Q 8圆锥曲线过定点问题答案：一、小题自测答案：1、（2,2） 2、相交五、练习
