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1、智浪教育普惠英才文库第 1 页（共 10 页） 注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形” ，勾股定理的逆定理也具有这一特点【例题求解】【例 1】 如图，AB 是半圆 O 的直径，CB 切O 于 B，CD 切O 于 D，交 BA 的延长线于 E，若EA=1，ED=2，则 BC 的长为 思路点拨 从 C 点看，可用切线长定理，从 E 点看，可用切割线定理，而连 OD，则 ODEC，又有相似三角形，先求出O 的半径注：连结圆心与切点 是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用
2、【例 2】 如图，AB、AC 与O 相切于 B、C，A=50，点 P 是圆上异于 B、C 的一个动点，则BPC 的度数是( ) A65 B115 C60和 115 D130和 50思路点拨 略智浪教育普惠英才文库第 2 页（共 10 页） 【例 3】 如图，以等腰ABC 的一腰 AB 为直径的O 交 BC 于 D，过 D 作 DEAC 于 E，可得结论：DE 是O 的切线问：(1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 为半径的圆的交 BC 于 D，DEAC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；(2)如果 AB=AC=5cm，sinA= 53，那么圆心 O 在
3、AB 的什么位置时，O 与 AC 相切? 【例 4】 如图，已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 边上的动点(与点 A、B 不重合)，Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合) (1)当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 PC 的长；(2)当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段 CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由 思路点拨 对于 (2)，易发现只有点 P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型以 CQ 为直径的圆与线段 AB 的交点就是符合要求的点 P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定 CQ 的取
4、值范围注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：(1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直；(3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次智浪教育普惠英才文库第 3 页（共 10 页） 设问的问题，需整体考虑； 【例 5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=1， 是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点 E 是边 AD AC上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作 所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点 AC（1）当D
5、EF=45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；（2）设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将DEF 沿直线 EF 翻折后得D 1EF，如图，当 EF= 65时，讨论AD 1D 与ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由思路点拨 图中有多条B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解( 1)、(2)问的基础，对于(3)，由(2)求出 x的值，确定 E 点位置，这是解题的关键注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、 切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的
6、知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具有较强的选拔功能 学力训练1如图，AB 为O 的直径，P 点在 AB 延长线上，PM 切O 于 M 点，若 OA=a， FM= a3，那么PMB 的周长为 2PA、PB 切O 于 A、B，APB=78，点 C 是O 上异于 A、B 的任意一点，则ACB= 3如图，EB、EC 是O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是O 上两点，如果F=46，DCF=32，则智浪教育普惠英才文库第 4 页（共 10 页） A 的度数是 4如图，以ABC 的边 AB 为直径作O 交 BC 于 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于 E，要使 DEAC，则ABC 的
7、边必须满足的条件是 5 1l、 2表示直线，给出下列四个论断： 1l 2； 1l切O 于点 A； 2l切O 于点 B；AB 是O的直径若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( )1 B2 C 3 D46如图，圆心 O 在边长为 2的正方形 ABCD 的对角线 BD 上，O 过 B 点且与 AD、DC 边均相切，则O的半径是( )A 12( B )12( C 12 D 127直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD+BCDC，若腰 DC 上有一点 P， 使 APBP，则这样的点( ) A不存在 B只有一个 C只有两个 D有无数个8
8、如图，圆内接ABC 的外角ACH 的平分线与圆交于 D 点，DPAC 于 P，DHBH 于 H，下列结论：CH=CP；A D=DB；APBH；DH 为圆的切线，其中一定成立的是( ) A B C D9如图，O 是ABC 的外接圆，已知ACB=45，ABC=120，O 的半径为 1，(1)求弦 AC、AB 的长； 智浪教育普惠英才文库第 5 页（共 10 页） (2)若 P 为 CB 的延长线上一点，试确定 P 点的位置，使 PA 与O 相切，并证明你的结论10如图，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CDAB 于 E，且 PC2=PEPO(1)求证：PC 是O 的切线； (2
9、)若 OE：EA=1：2，且 PA6，求O 的半径；(3)求 sinPCA 的值 )11(1)如图 a，已知直线 AB 过圆心 O，交O 于 A、B，直线 AF 交O 于 F(不与 B 重合)，直线 l交O于 C、D，交 AB 于 E 且与 AF 垂直，垂足为 G，连 AC、 AD ，求证：BAD=C AG；ACAD=AEAF(2)在问题(1)中，当直线 l向上平行移动与O 相切时，其他条件不变请你在图 b 中画出变化后的图形，并对照图 a 标记字母；问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由12如图，在 RtABC 中，A=90，O 分别与 AB、AC 相切于
10、点 E、F，圆心 O 在 BC 上，若AB=a，AC=b，则O 的半径等于 13如图，AB 是半圆 O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动(不与点 M 重合)，点 Q 在半圆 O 上运动，且总保持 PQ=PO，过点 Q 作O 的切线交 BA 的延长线于点 C(1)当QPA=60时，请你对QCP 的形状做出猜想，并给予证明(2)当 QPAB 时，QCP 的形状是 三角形(3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时，QCP 一定是 三角形 智浪教育普惠英才文库第 6 页（共 10 页） 14如图，已知 AB 为O 的直径，
11、CB 切O 于 B ，CD 切O 于 D，交 BA 的延长线于 E，若 AB=3，ED=2，则 BC 的长为( ) A2 B3 C35 D4 15如图，PA、PB 是O 的两条切线，A、B 切点，直线 OP 交O 于 C、D， 交 AB 于 E，AF 为O 的直径，下列结论：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中正确结论的个数有( )A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 16如图，已知ABC，过点 A 作外接圆的切线交 BC 的延长线于点 P， 2AC，点 D 在 AC 上，且21CDA，延长 PD 交 AB 于点 E，则 B的值为( ) A 4 B 2 C
12、21 D 2(太原市竞赛题) 17如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，AP 为过点 A 的半圆的切线 在 AB 上任取一点 C(点 C 与 A、B 不重合)，过点 C 作半圆的切线 CD 交 AP 于点 D；过点 C 作 CEAB，垂足为 E连结 BD，交 CE 于点 F(1)当点 C 为 AB 的中点时(如图 1)，求证：CFEF；(2)当点 C 不是 AB 的中点时(如图 2)，试判断 CF 与 EF 的相等关系是否保持不变，并证明你的结论 18如图，ABC 中，C=90，AC=6，BC=3，点 D 在 AC 边上，以 D 为圆心的D 与 AB 切于点 E 智浪教育普惠英才文库第 7 页
13、（共 10 页） (1)求证：ADEABC；(2)设D 与 BC 交于点 F，当 CF=2 时，求 CD 的长；(3)设 CD=a，试给出一个 a值，使D 与 BC 没有公共点，并说明你给出 a的值符合的要求19如图，PA、PB 与O 切于 A、B 两点，PC 是任意一条割线，且交O 于点 E、C，交 AB 于点 D求证：BDAC2(天津市选拔赛 试题)20如图，O与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，圆心 O的坐标是(1，一 1)，半径是5，(1)求 A、B、C、D 四点的坐标； (2)求经过点 D 的切线的解析式；(3)问过点 A 的切线与过点 D 的切线是否垂直?若
14、垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由21当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高处点 P 距离地面 a 米，最低处点 Q 距离地面 b 米，观赏者的眼睛点 E 距离地面 m 米，当过 P、Q、E 三点的圆与过点 E 的水平线相切于点 E 时，视角PEQ 最大，站在此处观赏最理想(1)设点 E 到墙壁的距离为 x 米，求 a、b、m，x 的关系式；(2)当 a=2.5，b=2，m=1.6 时，求：(a)点 E 和墙壁距离 x 米；(b)最大视角PER 的度数(精确到 1 度)智浪教育普惠英才文库第 8 页（共 10 页） 智浪教育普惠英才文库第 9 页（共 10 页） 参考答案智浪教育普惠英才文库第 10 页（共
