《一元二次方程》单元教材分析

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1、一元二次方程单元教材分析一. 教学内容：复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）了解一元二次方程的有关概念 能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、 因式分解法解一元二次方程 会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题 能运用一元二次方程解决简单的实际问题 了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想 二. 基础知识回顾1. 方程中只含有_ 个未知数， 并且未知数的最高次数是_， 这样的_的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_ _（ ）其中二次项系数是_，一次项系数是_，常数项是_ 例

2、如：一元二次方程 7x32x 2 化成一般形式是_ 其中二次项系数是_、一次项系数是_、常数项是_ 2. 解一元二次方程的一般解法有_；_；_ ； 求根公式法， 求根公式是_ 3. 一元二次方程 ax2bxc0（a 0）的根的判别式是_，当_时，它有两个不相等的实数根；当_时，它有两个相等的实数根；当_时， 它没有实数根 例如：不解方程，判断下列方程根的情况：x（5x21）20 x 296x x 23x54. 设一元二次方程 x2pxq0 的两个根分别为 x1，x 2，则 x1x 2_，x 1x2_ 例如：方程 x23x110 的两个根分别为 x1，x 2，则 x1x 2_；x 1x2_ 5.

3、 设一元二次方程 ax2 bxc0（a0）的两个根分别为 x1，x 2，则x1x 2_ ，x 1x2 _ 三. 重点讲解1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即是整式方程（重点强调） ；化简后只含有一个未知数；未知数的最高次数是 22. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的

4、题目）3 .一元二次方程 20()axbca的根的判别式正反都成立利用其可以不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表的取值范围） ；根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数） ；针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下：解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明） 举例如下：4. 一元二次方程根与系数的应用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程5. 能够列出一元二次方程解应用题能够发现、提出日常生活

5、、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程6. 本章解题思想总结：转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法 运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等 （对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）分类讨论

6、的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）举例如下：四. 易错点点拨易错点 1：对一元二次方程的定义的理解判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略） 易错点 2：一元二次方程的一般形式在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况） 易错点 3：关于解一元二次方程时的易错点是在解形如“ 2x”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除

7、以 x，从而造成方程丢根（告知学生原因，即当 x=0 时，两边是不能同时除以 0 的，无意义） ；用配方法时，当二次项的系数不为 1 时，应将二次项系数化为 1，再将方程左边配成完全平方式；利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断 24bac必须非负才能求解；举例如下：利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为 0易错点 4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根

8、，二者都合适的情况也是存在的） 【典型例题】考点 1：一元二次方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2 bx c 0（a 、 b、 c 为 常数，a 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax 2 bx c 0（a0） 复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程例 1. 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 （ ）A. 23(1)()x B. 210xC. 20axbc D. 221x方程 15x的一次项的系数是 【评注】概念性的问题关键是

9、抓住概念的本质一元二次方程必须符合三个条件：是整式方程；化简后只含一个未知数；未知数的最高次数为 2考点 2：一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可相等，则是方程的解；反之，则不是例 2. 如果关于 x 的一元二次方程 22()340mx有一个解是 0，求 m 的值【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用考

10、点 3：了解方程并判定方程根的情况相关知识：一元二次方程根的判别：当 24bac0 时，方程有两个不相等的实数根；当24bac0 时，方程有两个相等的实数根；当 1 C. m l D. m 1 C. ml D. m13、 （2007 四川内江）用配方法解方程 24，下列配方正确的是（ ）A. 2()xB. ()xC. 2()xD. 2()6x4、 （2007 四川成都）下列关于 x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. x240B. 4x 24x10C. x 2x30D. x 22x105、 （2007 湖南岳阳）某商品原价 200 元，连续两次降价 a后售价为 148 元，

11、下列所列方程正确的是（ ）A. 200（1a%） 2148 B. 200（1a%） 2148 C. 200（12a% ）148 D. 200（1a 2%）1486、 （2007 安徽芜湖）已知关于 x 的一元二次方程 xm有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. m1 B. m2 C. m 0 D. m07、 （2007 湖北武汉）如果 2 是一元二次方程 x2c 的一个根，那么常数 c 是（ ）A. 2 B. 2 C. 4 D. 4二、填空题1、 （2007 重庆）已知一元二次方程 0132的两根为 1x、 2，则 21x 2、 （2007 四川眉山）关于 x 的一元二次方程

12、x2bxc0 的两个实数根分别为 1 和 2，则b_；c _. 3、 （2007 浙江温州）方程 2的解是 . 4、 （2007 湖南怀化）已知方程 3k有两个相等的实数根，则 k5、 （2007 四川成都）已知 x 是一元二次方程 x23x10 的实数根，那么代数式25()362x的值为 6、 （2007 江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：_。7、 （2007 安徽芜湖）已知 是一元二次方程 240xc的一个根，则方程的另一个根是 三、解答题1、 （2007 湖南株州）已知 x1 是一元二次方程 240axb的一个解，且 ab，求2的值2、 （2007 湖北天门）已知关于 x 的一元二次方程 x24xm10。请你为 m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；设 、 是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求 2 2 的值。