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1、6.4 半径为 R 的一段圆弧，圆心角为 60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+ 和-，求圆心处的场强解答在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为 dq = ds，在 O 点产生的场强大小为 22000144ER，场强的分量为 dEx = dEcos，dE y = dEsin对于带负电的圆弧，同样可得在 O 点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x 方向的合场强为零，总场强沿着 y 轴正方向，大小为2sinyL/6 /6000sid(co)RR 3(1)26.8（1）点电荷 q 位于一个边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）
2、如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解答点电荷产生的电通量为 e = q/0（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过 6 个面，通过每一面的电通量为1 = e/6 = q/60（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过 8 个卦限，立方体的 3 个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为 1 = e/24 = q/240；立方体的另外 3 个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零6.10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2(R1 R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为 和- ，求（1）r R2 处各点的场强解答由于电荷分布具有轴对称性，所
3、以电场分布也具有轴对称性（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0， （r R2） 6.11 一半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ，若在球内挖去一块半径为 RR 的小球体，如图所示，试求两球心 O 与 O处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为匀强电场Ex xERdsEyOydsEx xER EyOyORaRO图 12.10解答挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为- 的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的迭加对于一个半径为 R，电荷体密度为 的球体来说，当场点 P 在球内时，过P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯
4、定理可得方程23014EP 点场强大小为 r当场点 P 在球外时，过 P 点作一半径为 r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 23014ERP 点场强大小为 2rO 点在大球体中心、小球体之外大球体在 O 点产生的场强为零，小球在O 点产生的场强大小为 320REa，方向由 O 指向 OO点在小球体中心、大球体之内小球体在 O点产生的场强为零，大球在 O 点产生的场强大小为 03，方向也由 O 指向 O证明在小球内任一点 P，大球和小球产生的场强大小分别为0rE， 0r，方向如图所示设两场强之间的夹角为 ，合场强的平方为22cosrrE220()cos)3rr，根据余弦定理得22()a，
5、所以 03a，可见：空腔内任意点的电场是一个常量还可以证明：场强的方向沿着 O 到 O的方向因此空腔内的电场为匀强电场6.16 电量 q 均匀分布在长为 2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为 r 处的电势；（2）带电直线中垂在线离中点为 r 处的电势；（3）由电势梯度算出上述两点的场强解答电荷的线密度为 = q/2L（1）建立坐标系，在细在线取一线元 dl，所带的电量为 dq = dl，根据点电荷的电势公式，它在 P1 点产生的电势为10dd4lUr总电势为 0Ll0ln()4Llr0ln8rLO a rOrErErEP（2）建立坐标系，在细在线取一线元 dl，所带的电量为
6、dq = dl，在线的垂直平分在线的 P2 点产生的电势为21/0dd4()lUr，积分得 221/0()Llr20ln()4Llr20ln8q0lqL（3）P 1 点的场强大小为 1UEr01()8r2014qrL， 方向沿着 x 轴正向P2 点的场强为 2r220 4()qLrr2014qr， 方向沿着 y 轴正向6.17 一带电量为 q，半径为 rA 的金属球 A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB 和 rC 的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度如何？若用导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）解答过 P 点作一个同心球面作为
7、高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷 q根据高斯定理可得 E4r2 = q/0，可得 P 点的电场强度为 204Er当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷 q用导线将A 和 B 连接起来后，正负电荷将中和A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 rc，所以A 球的电势为 04cqUr6.19 金属球壳原来带有电量 Q，壳内外半径分别为 a、b，壳内距球心为 r 处有一点电荷 q，求球心 o 的电势为多少？解答点电荷 q 在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为 a外壳上就有电荷
8、 q+Q，距离球为 b球心的电势是所有电荷产生的电势迭加，大小为 0001144o qUra6.20 三块平行金属板 A、B 和 C，面积都是 S = 100cm2，A、B 相距d1 = 2mm，A 、 C 相距 d2 = 4mm，B、C 接地，A 板带有正电荷 q = 310-8C，忽略边缘效应求（1）B、C 板上的电荷为多少？（2）A 板电势为多少？olxxxdl-L LyrP2qobar图 13.3qAB C图 13.4解答(1)设 A 的左右两面的电荷面密度分别为 1 和 2，所带电量分别为q1 = 1S 和 q2 = 2S，在 B、C 板上分别感应异号电荷 -q1 和-q 2，由电荷
9、守恒得方程q = q1 + q2 = 1S + 2S A、B 间的场强为 E1 = 1/0，A、C 间的场强为 E2 = 2/0设 A 板与 B 板的电势差和 A 板与 C 板的的电势差相等，设为 U，则U = E1d1 = E2d2， 即 1d1 = 2d2 解联立方程和得 1 = qd2/S(d1 + d2)，所以 q1 = 1S = qd2/(d1+d2) = 210-8(C)； q2 = q - q1 = 110-8(C)B、C 板上的电荷分别为 qB = -q1 = -210-8(C)； qC = -q2 = -110-8(C)(2)两板电势差为 U = E1d1 = 1d1/0 =
10、 qd1d2/0S(d1+d2)，由于 k = 9109 = 1/40，所以 0 = 10-9/36，因此 U = 144 = 452.4(V)由于 B 板和 C 板的电势为零，所以 UA = U = 452.4(V)124 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问 为何值时，圆心 O 点处的场强为零解答设电荷线密度为 ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强在圆弧上取一弧元 ds =R d，所带的电量为dq = ds，在圆心处产生的场强的大小为 22004sEkr，由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为dEx = -dEcos总场强为 2/0/cosd4xR2/0/s
11、in4Rin，方向沿着 x 轴正向再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上 O 点产生的场强大小为 04ER， 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点产生的合场强为02coscos2x，方向沿着 x 轴负向当 O 点合场强为零时，必有 xE，可得 tan/2 = 1，因此 /2 = /4， 所以 = /21212 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面 A 和 BA 平面的电荷面密度为 2，B 平面的电荷面密度为 ，两面间的距离为 d当点电荷 q 从 A面移到 B 面时，电场力做的功为多少？ 解答两平面产生的电场强度大小分别为EA =
12、2/20 = /0，E B = /20，RO图 12.4RO xddEOEE xR两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20，方向由 A 平面指向 B 平面两平面间的电势差为 U = Ed = d/20，当点电荷 q 从 A 面移到 B 面时，电场力做的功为 W = qU = qd/201213 一半径为 R 的均匀带电球面，带电量为 Q若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？解答带电球面在外部产生的场强为 204Er，由于 dRRUrEl20dR04，当 UR = 0 时， 04Q1214 电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，
13、试证明离球心 r（rR）处的电势为 230()8rR证明球的体积为 34V，电荷的体密度为 34QV利用 1210 题的方法可求球内外的电场强度大小为 00ErrR，（r R） ； 204QEr， （rR） 取无穷远处的电势为零，则 r 处的电势为ddrrRUEl 3200dd44rRQrr230084Rr20()Q230()8r144 通有电流 I 的导线形状如图所示，图中 ACDO 是边长为 b 的正方形求圆心 O 处的磁感应强 度 B = ？解答电流在 O 点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的根据毕-萨定律：02dIrlB，圆弧上的电流元与到 O 点的矢径垂直，在 O 点产生的磁场大小
14、为012d4la， 由于 dl = ad，积分得 11L3/204I038IaOA 和 OD 方向的直线在 O 点产生的磁场为零在 AC 段，电流元在 O 点产生的磁场为I CObaDA图 14.4022dsin4IlBr，由于 l = bcot( - ) = -bcot， 所以 dl = bd/sin2；又由于 r = b/sin( - ) = b/sin，可得 02siI，积分得3/42dindLB3/400/2(cos)8IIbb同理可得 CD 段在 O 点产生的磁场 B3 = B2O 点总磁感应强度为 00184IIa讨论（1）假设圆弧张角为 ，电流在半径为 a 的圆心处产生的磁感应强度为 04IBa（2）有限长直导线产生的磁感应大小为 012(cos)4IBb对于 AC 段， 1 = /2、 2 = 3/4；对于 CD 段， 1 = /4、 2 = /2，都可得0238Ib上述公式可以直接引用146 如图所示的正方形线圈 ABCD，每边长为 a，通有电流 I求正方形中心 O 处
