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1、1例谈 “图形与几何 ”领域作图教学重难点的突 破 策 略【摘 要】小学数学“图形与几何” 中学生的作图能力，作为小学生知识技能的一个重要展现形式，在教学中出现的问题 一直困扰着许多一线教师 。本文 对学生作图技能现状进行归因分析：一方面是教师对作图原理解释不够，对作图方法指导 欠佳， 对学生能力估计过高；另一方面是学生抽象思维能力差，动 手模仿能力弱。笔者 认为教学中只有帮助学生理解作 图原理，指导学生掌握作图方法才能使学生较好地掌握几何作图技能，并提出了以下一些对策：重返原点，抓住本质；以喻激趣，化难为易； 寻求支点， 给予拐杖；找准衔 接，有效引导；收集错例，以错引思；提供变式，提升技能
2、。【关键词】案例分析 归因分析 对策初探 细节思考一、案例分析，问题缘起。听过一位老师上旋转一课，要求学生在理解旋转的三要素后，在方格纸上把一个简单的图形顺时针或逆时针旋转 90 度。下面是旋转教学片段：【片段 1】旋转在认识了旋转的风车图后，教师进行第二环节旋转作图的教学。课件出示例题：画出三角形顺时针旋转 90度后的图形。师：请仔细观察，课件上的三角形是怎样旋转的？课件演示。生：三角形绕 O 点顺时针旋转了 90 度。师：能把刚才的旋转图在纸上画出来吗？学生尝试画图。 （5 分钟后，教师选取了 3 个学生的作品）师：画好的同学请举手。 （举手者寥寥无几）师：那我们先来看看这几个同学的作品。
3、 （3 种画法有 2 种是错的）师：你们认为几号是正确的，为什么？（举手的人不超过 5 个，有几个还是比较犹豫的）师：那这两个图错在哪里呢？（学生一片沉默，过了几分钟才有学生举手）师：现在请你画出长方形绕 A 点逆时针旋转 90 度后的 图形。2底AB CD学生尝试练习。反馈时课堂气氛依然十分沉闷，很多学生无从下手。 （课没有上完铃声响了）课后执教老师对自己的教学进行了反思：认识旋转这个环节上得比较顺利，但是到作图的环节就卡住了，很多学生不懂如何作图，一个问题问下去，课堂上沉默是金。其实本节课后面还安排了一些亮点教学内容，但是由于作图的时候浪费了很多时间，所以后面的课也就来不及上了。从教师的反
4、思和学生的课堂表现来看，虽然学生知道了旋转现象的三要素，但是在方格纸上作出简单的图形顺时针或逆时针旋转 90 度的图形时，学生遇到了很大的困难，无从下手，有的甚至产生了畏惧的心理，也给老师的指导带来了困难。二、归因分析，多面剖析。课堂上为什么会产生这样的现象？学生作旋转图形为什么会如此困难？造成学生难掌握作图技能的成因是什么？课后这些问题一直困扰着我。要想解决问题，最好的方法就是研究课例、研究学生，借这一载体研究老师的教学行为、研究学生的学习障碍。故精心选择了有关几何作图方法的课例进行了分析。在对课例的分析和学生的交流中发现造成学生难掌握几何作图源于教师和学生两个层面。（一）教师层面1.对作图
5、原理解释不够。【片段 2】平行四边形的认识认识“高”，教师让学生尝试作 BC 边上的高并反馈。（将近一半以上的学生能正确作高）师：BC 边是平行四 边形的底，其实 CD 边也是平行四边形的底。你能做出 CD 边上的高吗？学生尝试画高并反 馈。（只有四分之一学生能正确作高，师花了很长间讲解，学生还是云里雾里。 ）师：你会作平行四边形的高了吗？请赶紧动手吧！画 2 条高用时 5 分钟还有部分学生未完成，反馈时全对的只有三分之一左右，在巡视中还发现有五分之一的学生不知道利用尺子的哪个角作图，也不知道尺子该怎样放。学生虽然会作垂线，但第一次接触高底AB CD底 底3的概念，学生对高的“本质”把握上是一
6、知半解、模棱两可的。在教学中，教师直接把高的概念教给学生，此时学生对平行四边形的高的认识学生是模糊的，不清晰的，对高的作图原理是不理解的。这是导致学生作图的困难的一个很大的原因。2.对作图方法指导欠缺。【片段 3】平移与旋转学习了平移与旋转现象后，教师直接让学生在方格纸上画出三角形向右平移 4 格后的图形。反馈后，师小结：用画点的方法，再找其他点与 这个点的相对位置数一数（找边也可以）就知道平移了几格。学生再次练习（右图）：把房子向左平移 5 格。这是某教师教学原人教版二下平移与旋转中的教学片段，课后笔者对这题练习的正确率进行了统计，发现全班 45 人，只有 20 人做对的。为何正确率如此之低
7、？我认为主要是教师对作图的方法指导欠缺，学生没有真正掌握平移的方法。3.对学生能力估计过高。在我们的数学教学中，老师们都十分关注学生的知识起点。在图形与几何领域，学生的认知虽然不是一片空白，但是学生对图形的认识、图形的特征很多时候是比较朦胧的、懵懂的，是一种“口语言而不能答”的状态。古话说得好：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行” 。因此虽然学生学习过了相关的知识，但是要让学生进行几何作图还是有一定困难的。记得读书时，几何老师曾经说过这样一句话：几何作图的方法我讲了，你不一定懂了；懂了，你不一定会了；会了，你不一定会画了；画了，不一定就对了。但是在一些课例中笔者发现有些教师往往认为：知道了平移，
8、学生就应该会作平移后的小房子；知道了旋转，学生就应该会作旋转 90 度的三角形；知道了对称，就应该会作对称的小鱼图总而言之，教师对学生的能力估计过高，教学中急于求成。（二）学生层面1.抽象思维能力差。如旋转一课，尽管学生在生活中能观察到许多旋转现象，像风车的转动、汽车轮子的转动、电风扇的转动、汽车方向盘的转动等，可是这些旋转都是快速的旋转，形成的是一些运动轨迹，而这节课的要求是画出简单图形（三角形、长方形等）旋转 90 度后的图形。因此，学生的认知经验极为贫乏，造成了绝大部分4学生的作图困难。同时学生虽然通过指针的旋转了解了旋转的三要素，但是从“线”的旋转到“面”的旋转难度明显不同。在课例中教
9、师在让学生了解了什么是旋转后直接让学生观察课件中三角形的旋转并让学生尝试画出三角形顺时针旋转 90 度，此时学生对这个“面”旋转明显不能很好的理解内化。虽然教师利用课件展示了三角形顺时针旋转 90 后的图形，但许多学生对图形旋转的过程是模糊不清的。同时三角形（或长方形）旋转时有两条线段是经过中心点旋转的，但是还有一条（或两条）没有经过中心点，这些多余的线段干扰着学生，使学生的作图产生了更多的困难。2.动手模仿能力弱。小学生由于自身的年龄特点，动手能力、模仿能力都比较弱。【片段 4】画平行线师：谁来说说平行线是怎样作的？（同步出示课件）生：先用直尺画出一条直线，再把直尺竖直放好，然后用三角尺沿着
10、直尺移动，然后就画出另一条直线。学生利用自己准备好的学具画平行线。教师选择了正确的和错误的例子进行反馈。师：谁来说说这位同学画得不平行的原因？生：我认为他画图时尺子可能动了。生：我认为他可能没有沿着直尺移动。师：接下来请同学们完成下面的练习，有困难的可以请老师帮忙。在教师巡视时发现不断的有小手举起来，老师只好哪有困难就奔到哪里，手把手地教他们，反复让学生记步骤、操练。从作业的反馈情况看效果很不理想：绝大多数学生不能很好地掌握，更有甚者在画的时候拿着三角尺不知所措，胡乱旋转，有的把自练本转来转去。为什么会这样？我想很大的一个原因是老师最作平行线的方法指导不够到位，同时学生也可以看出学生的动手模仿
11、能力比较弱，无法领悟作图的方法。三、对策寻求，有效提升。在“图形与几何”领域教学中，通过对几何作图能力的训练，可使学生初步掌握使用简单的作图工具，进一步认识图形的结构、特征以及组成图形各个基本元素，如点、线、面的相互位置关系，从而培养学生初步的空间想象能力。（一）内容梳理5在小学数学的空间与几何领域，有关几何作图的教学内容有很多。首先我们来梳理一下小学阶段的涉及到的一些几何作图内容：（以原人教版教材为例）册别 内容二上 用刻度尺画线段的长度（限整厘米）；初步学会用尺画角、会用三角板画直角；能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形。二下 会在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、 竖直方向平移后的 图
12、形。三上 会在方格纸上画长方形、正方形和平行四 边形。四上 会画直线、射线、会按指定度数画角；会用直尺、三角尺画垂线和平行线；会画四边形与梯形的高四下 根据方向和距离在图上绘出物体的位置、 绘制简单的路线图 ；会作三角形的高。五下 能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形；能在方格纸上把简单图形旋转 90。六上 学会用圆规画圆。（二）易错题型小学阶段所涉及的几何作图内容中，有些学生比较容易掌握，有些学生难掌握。在对教师和学生的交流中笔者发现以下一些几何作图技能学生难以掌握容易出错：序号 几何作图易错内容 会出现的错误分析1 用直尺和三角板作垂线、平行线1.作图原理不理解，作出的垂 线没有成 90
13、度的直角，作出的平行线不平行。2.工具使用不熟练，没有利用直角作 图。2用直尺和三角板作平行四边形、梯形、三角形的高1.作图原理不理解，所作的高不是点到直线的距离。2.不是水平放置的图形（图形的变式）作高时不知道怎样摆放作图工具。3 在方格中作对称、平移、旋转图形1.能正确作出轴对称图形、平移后的 图形、旋 转后的图形，但平移位置不对。2.能正确作出轴对称图形，平移位置准确，但作图不标准，线条不直。3.根本不会作轴对称图形、平移后的 图形、旋 转后的图形。没有掌握轴对称图形的特点和图形平移、旋 转的主要方法。（三）教学对策那么在图形与几何教学中，如何帮助学生较好地掌握几何作图技能呢？要帮助学生
14、较好地掌握几何作图技能，必须帮助学生理解作图的原理以提升作图技能，以实践操作巩固作图技能。在近一年的教学实践和课例研究中，笔者尝试了以下一些对策，取得了较好的效果。1.重返原点，抓住本质。要让学生较好地掌握几何作图技能，就必须让学生理解作图原理，就要让学6生理解与几何作图相关的一些概念和定义。而在我们的教材中很多概念和定义都是一段段长长的文字，学生理解起来有一定的困难。此时教师要善于研究理清知识间的前后联系，让学生回到知识的原点，抓住概念和定义的本质进行教学。如画平行四边形的高时，学生对平行四边形高的概念还是比较难理解，此时教师应引领学生，抓住高的本质“就是点到直线的距离”进行点拨引导。 【片
15、段 5】学生自学教材认识平行四边形的高。师：你能指着黑板上的平行四边形说说什么是平行四边形的高吗？生指着图边说边比划。师：谁听明白了，谁再来比划一下？师：借助书本中的平行四边形每个同学说一说什么是平行四边形的高。师：那你能画出平行四边形的高吗？（1 人边说边画）师：你为什么要用直角作高？（垂线：点到直线的距离）师：是呀，平行四边形的高实际上就是点到对应底边所在的直线的距离。2.以喻激趣，化难为易。由于小学生的模仿能力较弱，空间观念比较差，而几何作图又比较抽象，所以往往看得懂但作不好根据小学生的年龄特点教师可以以“喻”激趣，借助直观进行形象化的教学，这样的教学能更好的帮助学生理解作图的原理。如作
16、平行线时问题的本质不是记住画的步骤，而应让学生明白两把尺子各自的作用，直尺和三角尺的正确放置才是做好平行线的关键。教学时可以把作平行线时用直尺看做火车轨道，把三角尺看做火车。对于火车和火车轨道学生有一定的生活经验和常识：“火车轨道”是固定不动的， “火车”是可以移动的。有了这样的比喻后，学生在操作时就牢牢记住了直尺即“火车轨道”是不能移动的，只要“火车”即三角尺在“轨道”即直尺上来回移动，就可以做出平行线了。又如在作长方形顺时针旋转 90 度以后的图形时，可以把方格纸看做钟面来帮助学生理解作图的原理（如右图） 。把 O 点看作钟面上时针和分针交叉的点，经过 O 点的这两条线段看作时针和分针，钟面上的以 O 点为顶点出现了 4 个直角。如果要把长方形逆时针旋转 90 度，学生就能够很清楚地观察到旋转时只要先转好与从 O 点出发的两条线段即可：宽从 12 转到 9，长从 3 转到12。学生理解了作图的原理后再让学生在方格图中再作图就 63912O轨道火车7OBA水
