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1、个性化教案1 / 7平行截割定理与相似三角形适用学科 数学 适用年级 高二适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60知 识 点 相似三角形的判定及有关性质考情分析 在高考中主要考查相似三角形的判定及有关性质、直角三角形射影定理的应 用，其中相似三角形的判定及 性质常与圆的知 识综合在一起考查。教学重点 平行截割定理与相似三角形教学难点 平行截割定理与相似三角形教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点 1 平行线等分线段定理定理如果一组平行 线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 推论 1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线
2、必平分第三边推论 2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 考点/易错点 2 平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线 )所得的对应线段成比例考点/易错点 3 相似三角形的判定定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比( 或相似系数) 预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的个性化教案2 / 7延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理 1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：
3、两角对应相等，两三角形相似判定定理 2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似判定定理 3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 考点/易错点 4 两个直角三角形相 似的判定定理如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (
4、3)相似三角形的性质性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆) 的面积比等于相似比的平方考点/易错点 5 直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边 分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项。个性化教案3 / 7三、例题精析【例题 1】【题干】在梯形 ABCD 中，ADBC，AD2，BC5，点 E、F 分别在AB、CD 上，且 EFAD，若 ，则 EF 的长为_AEEB 34【答
5、案】237【解析】如图所示，延长 BA、CD 交于点 P，ADBC， ，PAPB ADBC 25 ，又 ， ， ， .ADEF， ，PAAB 23 AEEB 34 AEAB 37 PAAE 149 PAPE 1423 ADEF PAPE 1423又 AD 2，EF .237【例题 2】【题干】已知，如图，在ABC 中，ABAC，BDAC ，点 D 是垂足求证：BC 22CDAC.【解析】过点 A 作 AEBC，垂足为 E，CEBE BC，由 BDAC，AE BC.12个性化教案4 / 7又C C ，AECBDC. ， ，ECDC ACBC 12BCCD ACBC即 BC22CDAC.【例题 3
6、】【题干】已知圆的直径 AB13，C 为圆上一点，过 C 作 CDAB 于 D(ADBD)，若 CD6，则 AD_.【答案】9【解析】如图，连接 AC，CB，AB 是O 的直径，ACB90设 AD x，CDAB 于 D，由射影定理得 CD2ADDB，即 62x(13x )，x213x 360，解得 x14，x 29.ADBD ，AD9.四、课堂运用【基础】1如图所示，已知 abc，直线 m、n 分别与 a、b、c 交于点 A，B，C 和A，B，C，如果 ABBC1，AB ，则 BC_.32解析由平行线等分线段定理可直接得到答案个性化教案5 / 7答案322如图所示，BD、CE 是ABC 的高，
7、BD、CE 交于 F，写出图中所有与ACE 相似的三角形_解析由 RtACE 与 RtFCD 和 RtABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知 BFEA ，故 RtACERtFBE.答案FCD、FBE、 ABD【巩固】3如图，在ABC 中，M、N 分别是 AB、BC 的中点， AN、CM 交于点 O，那么MON 与AOC 面积的比是_解析M、N 分别是 AB、BC 中点，故 MN 綉 AC，12MONCOA， .来源:学科网 ZXXKSMONSAOC MN2AC2 14答案144如图所示，已知 DEBC，BFEF 32，则ACAE_，AD DB_.解析DEBC， .AEAC DEBC EF
8、BFBFEF3 2， .ACAE3 2.AEAC EFBF 23同理 DEBC，得 ABAD3 2，即 .ABAD 32个性化教案6 / 7 ，即 2.来源:学.科.网来源:学#科#网 Z#X#X#KADAB 23 ADAB AD 23 2即 2.ADBD21.ADBD答案3221【拔高】5如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，CB AB，ABADa，CD ，a2点 E、F 分别为线段 AB、AD 的中点，则 EF_.解析连接 DE 和 BD，依题知，EB DC，EBDC ，EBCD 为平行四边形，a2CBAB，DEAB，又 E 是 AB 的中点，故 AD DBa，E ，F 分别是 AD、
9、AB的中点， EF DB a.12 12答案a26. 如图， D，E 分别为 的边 AB，AC 上的点，且不与 的顶点重ABCABC合已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程的两个根2140xn（I）证明： C，B，D，E 四点共圆；（II）若 ，且 求 C，B，D， E 所在圆的半径9A4,6n解析：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中， ADAB=mn=AEAC， 即 .又DAE=CAB，从而ADEACB ABECD个性化教案7 / 7因此ADE=ACB 所以 C，B，D ，E 四点共圆。（）m=4 ， n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2，x 2=12.故 AD=2，AB=12.取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=90 0，故 GHAB， HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.来源:学_科_网 Z_X_X_K21故 C， B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2
