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1、淮北师范大学信息学院2015 届学士学位论文数列极限计算的若干方法系、专 业 数学系、数学与应用数学研究方向 函数论学生姓名学号指导教师姓名指导教师职称 副教授2015 年 5 月 26 日I淮北师范大学信息学院毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计）浅谈数列极限的几种计算方法 ，是在指导教师 潘亚丽 的指导下严格按照学院和系有关规定完成的。本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明。本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任。承诺人： 2011年级 数学与应用数学专业签 名
2、：2015年 5月 26日IIIII数列极限计算的若干方法摘要本文是探讨不同种类数列极限的求解方法，分别从简单数列和一些较为复杂的数列两方面去探讨求解数列极限，在简单数列中，我们主要利用定义，极限的四则法则，迫敛性等方法，去求解不同类型的简单数列极限.在求解复杂的数列中，将复杂数列具体的分成了三大类：递推数列， 项和数列，一些用特殊的通项表示的数列 .根据不同的数列分别用不同的方n法去求解，例如：单调有界定理，级数有关性质，定积分性质等.在本文中针对不同类型的数列用具体的方法与相关例子相结合去求探讨求解数列的极限，通过本文的探讨能让我们熟练的求解出针对不同类型的数列极限. 关键词：数列；极限；
3、有界；级数；积分IVStudies on Several Methods of Sequence Limit ABSTRACTThis article is to explore the different kinds of sequence limit method, mainly from two aspects of simple sequence and some of the more complex the sequence to solving the sequence limit, in the simple sequence, we mainly use of definit
4、ion, the four principles of limit, forced convergence and so on, to solve different types of simple sequence limit. In solving complex sequence, the complex sequence of concrete is divided into three categories, mainly divided into recursive sequence, and sequence, some use special general represent
5、ation of the sequence. Then according to the different series with different methods respectively to solve, such as monotonous have defined, series related to nature, nature of definite integral, and so on. In this paper by concrete method combined with relevant examples to solve different types of
6、sequence limit.Keywords：The Sequence；Limit ；Bounded；Series；IntegralV目录引言 .1一 基础知识 .1（一） 、数列极限的思想 .1（二） 、数列极限的有关定理. .1二 简单数列极限求法 .2（一）、利用极限定义和性质求解数列极限 .2（二）、利用数列变形化简求解数列极限 .4（三）、利用公式 求数列极限 .61lim()nne（四）、利用归结原理求数列极限 .6三 复杂数列极限求法 .7（一）、利用三大定理求数列极限. .7（二）、利用级数性质去求数列极限 .10（三）、利用定积分有关性质求数列极限. .12四 结论 .16
7、参考文献 .17致谢 .18VI1引言数列极限是极限理论的重要组成部分，在数学分析中，极限的思想和方法始终贯穿其中，同时极限方法是微积分学的基础，因此对于怎样求数列极限也显得尤其重要。一般简单的数列极限的求法在数学分析教材中都有介绍，但是课本中没有具体的将数列分成几类，针对不同的数列选择不同的方法去求解该数列极限.对于一些比较复杂的数列极限，一般方法就显得有些局限.为了解决此问题，本文具体的将数列分成几类，分别用不同的方法去求解数列极限一 基础知识（一） 、数列极限的思想纵观古代数学发展，我国魏晋著名数学家刘徽在计算的圆的面积时就提出了“割之弥细。所之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，
8、而无所失”他就提出通过增加圆内正边形的边数来逐渐逼近圆的面积。这就体现出了极限思想。古代哲学家庄周就说过“一尺之，棰，日取其半，万使不竭”如果我们把每天截下的部分长度为： 第一天截下 ，第二天截下 ，第 天截下 ，从而我们就1221n12n得到一个数列2,nL所以我们不难看出数列 当 无限增大就会逐渐接近于 0，从中我们可以看出数列1n当 无限增大时，数列 就无限接近于一个常数 ，则 称之为数列 的极na2ana限，但这只是直观上的数列极限.我们应该衡量出当 充分大时，数列的通项 与常数 之n差的绝对值，于是我们得出数列极限的准确定义定义 1 设 为数列， 为定数。若对于任给的正数 ，总存在正
9、整数 N，使得当 nNna 时有| | ，则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作nnanalima2（二） 、数列极限的有关定理.定理 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限. 1定理 stolz 定理：(1)设 是任意数列， 严格递减趋于 则当2 nanb存在或为 时 .1limnab,limnb1linn(2)设 是趋于零的数列， 严格递减趋于零.则当anb存在或为 时 .1linab,linb1lina定理 压缩映射原理：设可 可倒且| | ，其中 是常数，给定 ，令3 ()fx()fxrrox则数列 收敛1()n,2)nxfLn定理 迫敛性定理：设收敛数列 ， 都
10、以 为极限，则数列 满4nanbanc足：存在整数 ,当 时有 ，则数列 收敛0N0nncn且有 limnca二 简单数列极限求法（一）、利用极限定义和性质求解数列极限1、利用数列极限的定义求解数列极限利用定义求数列极限主要要求我们对 ，作差 通过放缩或变形后找出0na所需 N 的要求.例 1 求 ，（这里 为正数）liman解 由于 01故对任给的 ，只要取 ，则当 时就有1aNnN31anN所以 。lim0a例 2 求 lin7!解 !71281nL71!6n70!6!n，存在 则当 时，便有71,!NnN，70!6!nlimn!02、利用极限的四则运算法则求数列极限极限的四则运算法则：若 与 为收敛数列，则 + ， - ，nanbnabnan也是收敛数列，且有 ，nbli()lilin.mmn例 3 求 li(45)n解 由四则运算法则可知 =li(345)nn
