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1、第八章,非线性系统分析,第七章,了解非线性系统与线性系统的区别。掌握相平面的基本概念，相轨迹，极限环。掌握描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡。,本章要点,7.1 非线性系统动态过程的特点7.2 非线性特性及其对系统性能的影响7.3 非线性特性的描述函数7.4 非线性系统的描述函数法7.5 相平面法 小 结,主要内容,7.1 非线性系统动态过程的特点,一、何谓非线性系统 只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件，即称为非线性系统。,实际系统中的非线性因素,除上述实际系统中部件的不可避免的非线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人
2、们还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性部件，最简单和最普遍的就是继电器。,电磁继电器的工作原理和输入-输出特性,二、非线性系统的特征,1. 稳定性 在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统特征方程根的分布，而和初始条件、外加作用没有关系。 对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。,线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。,非线性系统则不一样，自由运动的时间响应曲线可
3、以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。,2.运动性,线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定频率和振幅稳定的周期运动，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为自激振荡，简称自振。,3.自振,线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。,非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。,非线性环节的正弦响应,三、非线性系统的分析方法,在线性系统中，一般可采用传递函数、频率特性、脉冲函数等概念。 在工程实际中对于存在线性工作区域
4、的非线性系统，或者非线性不严重的准线性系统，常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特性那样根本不存在线性区的非线性特性，工程上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。,静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。,7.2 非线性特性及其对系统性能的影响,一、死区特性,死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：,死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏
5、度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。,可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理想饱和特性的数学描述为：,二、饱和特性,继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性有双位特性如图（a）和（b），三位特性如图（c）等，图（b）（c）的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。 分析继电特
6、性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。,三、继电特性,传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图中表示齿轮传动原理，表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动速比k为，则间隙特性的数学描述为：,四、间隙特性,式中，c为常数，它等于主动轮改变方向时的值。,7.3 非线性特性的描述函数,描述函数法是达尼尔(
7、P.J.Daniel)于1940年提出的, 它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。,在频率特性一章中，我们已经看到，对于线性时不变系统，当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。 现在，我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。考虑下图所示的系统，如果其线性动态部分具有良好的低通特性，那么系统信号中的高次谐波就被大大
8、衰减，可以用基波来近似，这是非线性特性在频域的线性化。,一、描述函数定义,为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数, 设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数：,式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数：,式中,如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：,描述函数可以定义为非线性特性输出的一次谐波分量与输入正弦量的复数比 。,若输出的一次谐波分量为,输入的正弦量为,则描述函数的数学表达式,1.继电特性,二、典型非线性特性的描述函数,2.一般非线性,描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线
9、性环节的描述函数。我们举一个例子:,因为它是单值、奇对称的， ，先求出y(t),所以,概括起来，求描述函数的过程是： 先根据已知的输入x(t)=Asint和非线性特性y=f(x)从而求出输出N(A) 然后由积分式求出 ，求出N(A) 。 主要工作量和技巧主要在积分。,7.4 非线性系统的描述函数法,一、闭环系统稳定性,前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到非线性系统，则其闭环系统频率特性为：,特征方程为,为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx，即N(A)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取
10、决于在复平面上W(j)曲线是否包围实轴上的1k点。,现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情况。因为X连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线W(j)是否包围1N(A)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线W(j)不包围1N(A)曲线，那么闭环系统稳定；如果W(j)曲线包围1N(A)曲线，那么闭环系统不稳定；如果曲线W(j)与曲线1N(A)相交，那么闭环系统出现自振荡（极限环）。为了方便，我们将曲线1N(A)称为负倒描述函数曲线。,二、极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。,W（jw）,图中
11、A、B两点都出现极限环，先看A点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到D，D点不被W(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到C，C点被W(j)曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应逐渐增大，工作点移到、B；可见A点属不稳定极限环。,再看B点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到F，F点被 曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定振荡幅值应增大，增大后又回到B点；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到E，E点不被 曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定振荡幅值应减小，减小后又回到
12、B点；可见A点属稳定极限环。,相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。 这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。,7.5 相平面法,考察二阶非线性时不变微分方程:,一、相平面的基本概念,为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组:,微分方程组有两个变量: x可以看作广义位移， 可以看作广义速度。 一般，直接对微
13、分方程求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系图时间响应曲线。,如果我们对微分方程组求解，可以得到解x(t)和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当 t 变化时，这一点在 平面上绘出 的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。,例7-1 考虑二阶系统：将它写成微分方程组：,两式相除得到：,即：,两边积分得:,在相平面上绘出的相轨迹如图所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从
14、全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。,表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线上的点时所取的斜率都是a，这条曲线就称为等倾线。,。,令,其中 a为某个常数,二、绘制相轨迹图,等倾线法,例7-2,微分方程,或,等倾线是直线，它的方程为：,各种类型的极限环,极限环,在图中，出现了一种孤立的简单的封闭相轨迹。这种相轨迹称为稳定的极限环。,各种类型的极限环,三、相轨迹的基本特征,1.奇点,对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作 。 奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点。,2. 相
15、轨迹切线斜率,相轨迹上任一点的切线斜率为： 某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。,3. 相轨迹图形特征,任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）； 相轨迹必垂直通过轴 轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的相轨迹从右向左运动。,例7-3 作出下列二阶系统的相轨迹,将它写成微分方程组：,容易求出奇点为（0，0）。,ABCDO对应初始条件为EFO对应初始条件为。,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。,研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。,四、线性系统的相轨迹,特征方程为,设系统的微分方程为,上述特征方程的根为,取相坐标 、 ，,或,1.欠阻尼运动,其中,2.无阻尼运动,相轨迹方程为：,其中,
