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1、1第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答3-1 讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。解：（1）以 AB 杆为对象，A 为固定端约束，约束力有 3 个。如果 DC 杆是二力杆，则铰 C 处有 1 个约束力，这 4 个力组成平面一般力系，独立平衡方程有 3 个，所以是 1 次静不定；如果 DC 杆不是二力杆，则铰 C 和 D 处各有 2 个约束力，系统共有 7 个约束力，AB 杆和 DC 杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有 6 个，所以，是 1 次静不定。（2）AD 梁上，固定铰链 A 处有 2 个约束力，辊轴铰链 B、C 和 D 各有 1 个约束
2、力，共有 5 个约束力，这 5 个约束力组成平面一般力系，可以列出 3 个独立的平衡方程。所以，AD 梁是 2 次静不定。（3）曲梁 AB 两端都是固定端约束，各有 3 个共 6 个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有 3 个。所以是 3 次静不定。（4）刚架在 A、B 和 C 处都是固定端约束，各有 3 个共 9 个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有 3 个。所以是 6 次静不定。（5）平面桁架在 A 处为固定铰链， B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有 3 个，因此，该平面桁架的外力是静定的。平面桁架由 21 根杆组成，所以有 21 个
3、未知轴力，加上 3 个支座反力，共有 24 个未知量。21 根杆由 10 个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出 210=20 个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是 24-20=4 次静不定。（6）整体在 A 处为固定铰链， B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有 3 个，因此，该系统的外力是静定的。除了 3 个约束外力外，3 根杆的轴力也是未知的，共有 6 个未知量。AB 梁可以列出 3个平衡方程，连接 3 根杆的铰链可以列出 2 个平衡方程，共有 5 个方程，所以，该系统的内力是 1 次静不定。3-2 炼钢炉的送料机由跑车
4、A 与可移动的桥 B 组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为 2 米，跑车与操作架、手臂 OC 以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长 OC=5m。设跑车 A、操作架和所有附件总重量为 P，作用于操作架的轴线。试问 P 至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？题 3.1 图2解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是 。列平0NEF衡方程：， ，0Fm041WP解得 kN)(654所以，当 时，才能使料斗在满载时不致翻倒。3-3 梁 AB 用三根杆支承，如图示。已知 ，kN301F， ， 。试求三杆的约束力。k402Fmk30M/2q(a) 解：以
5、 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程， ，0xF06coss1FCkN3,Bm5.486sinin82 1qMCAo.6,0yF 030si0si 21qFFBCAoo.k78.B（b）解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程题 32 图题 3-3 图3， ，0xF03cos45cscos2FBD,Cm,063in28in2 1M解得： ；kN.7k,4.8DB,0y，03sin5sisi 21oooFFCBD解得： 。.3C3-4 试求图示多跨梁的支座反力。已知（a ），mkN8M；（b）/4q，0。1(a) 解：（1）先取 BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程， ，0Bm
6、0364qFC；kN18，,yBy，0xx（2）再取 AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程， ，xF0BxAkNF题 3-3 图题 3-4 图4， ;,0yF0ByAFkN6Ay, , .Am4Mm32(b) 解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:, ,0Cm0124MqFD;kN,yyC，0xx（2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:, ,Bm0212CyAyFqF.kN,0y yBy.4, x 0CxA.kF3-5 梁的支承及载荷如图示。已知： ， 。试求支座的约束力。qaF2M题 3-4 图5（a）解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:， ，0C
7、m021MqaFD。3， 。xCx,0y 0qaDy。F212）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:， ，0Bm02qaaCyA。y， ， 。xF0xAxF， 。,y 0qaFCyBy qaFB25（b）解：（1）取 BC 梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布， B 点处的载荷集度为 q/2。列平衡方程:题 3-5 图6， 0xFBx，Bm，02312aqaC。q65，,0yF2FCBya32（2）取 AB 梁为对象，画受力图。列平衡方程:， ，0x 0BxA.xF， ,Am02312aqaMy.q，,0y ByA.qaFAy673-6 图示构架中，重物 W 重 1200 N，由
8、细绳跨过滑轮 E 而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD=2 m，CD=DE=1.5 m。不计滑轮和杆的自重，求支座 A 和 B 处的约束力，以及杆BC 的内力。题 3-5 图7解：（1）以整体为研究对象，显然 。WFT列平衡方程：， ，0xF0TAx。N12W， ，Am0)5.1()(4rFrTB N10587.WFB， 。,0y 0Ay 152Ay（2）以 AB 杆为研究对象。列平衡方程：， ，Dsin2By其中 。解得 。53.1sin2N0A3-7 一凳子由杆 AB、BC 和 AD 铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力 如F图示。求铰链 E 处的约束力。解：（1）取整体为研究对象。
9、， ，0Am03FaND；1（2）取 AB 杆为研究对象。， ，0B023aAy题 3-6 图题 3-7 图8FAy32（3）取 AD 杆为研究对象。，,0y 0NDEyA。y31， ，Am32aFaFNDEyx.FEx3-8 图示构架由杆 AB、CD、EF 和滑轮以及绳索组成， H、G 和 E 处为铰链，固结在杆 EF 上的销钉 K 放在杆 CD 的光滑槽内。已知物块 M 重 P 和水平力 Q，尺寸如图示。若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座 A 和 C 以及杆 EF 上销钉 K 的约束力。解：（1）取整体为研究对象，0Am，0364aPQaFCy；2，,0yCyAAB 杆受力图 AD
10、 杆受力图题 3-8 图 受力图（ 1）9；PQFAy7641。,0x 0Cx（2）取 EF 杆连同轮为研究对象，显然 。PFT，Hm，3245sinaaNKo.PF（3）取 CD 杆为研究对象，0G， ；024aFaNKCyx PQFCx641代入上面（1）中第 3 式，解得：。PQFAx213-9 滑轮 B 与折杆 AB 和 BC 用铰链连接，如图示。设滑轮上绳的拉力 P=500 N，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。解：（1）取轮（不包括销钉）为对象， ，0Bm0rPFT；， ；,yy PFTBy， ；xBxx轮对销钉的作用力是 的反作用力。yx,受力图（2） 受力图（3）题 3-9
11、 图 受力图（1）10（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB 和 BC 都是二力杆，列平衡方程：， ，0xF0sincoPFBCBA， ，ysiT其中， 。解得 。53,4sin71,5ABCF将数据代入，得：。0N,10,0NBxyBCBFF3-10 由杆组成的结构如图示。A、B 、C、E、G 均为光滑铰链。已知 F=20 kN, q=10kN/m,M=20 kN-m,a=2 m, 不计自重，求 A 和 G 处的约束力以及杆 BE 和 CE 的内力。解：（1）取整体为研究对象，0Gm，02 aqFMaAxkN7， ，0xGxA；k5G， 。yF02qay（2）取GE 杆为研究对象， 0xF，
12、045sinoECGx，受力图（2）题 3-10 图 受力图（ 1）受力图（2）11kN250ECF， ，0EmMaGy；1将此代入（1）中第 3 式，得。k0Ay， ，0yF045cosECBGFN)(3-11 构架由杆 AB、AC 和 DF 铰接而成，如图示。在杆 DEF 上作用一力偶矩为 M 的力偶。不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和 B 所受的力。解：（1）取整体为研究对象，支座反力 必组成力偶。BCF,， ， ；0Cm02MaFBaB2（2）取 DF 杆为研究对象， ， ；EDyDy（3）取 AB 杆为研究对象， ，0yF0BAyFaAy2， ，Dmaxx， ， 。xD3
13、-12 构架由杆 AB、AC 和 DF 组成，如图示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC 的光滑槽内滑动。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F，不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链 A、D 和B 所受的力。题 3-11 图和杆件受力图12解：（1）取整体为研究对象， ， ；0Cm02aFBy 0ByF（2）取 DF 杆为研究对象， ， ；EDyDy， ，45sinNo；2， ， ；0xF0cDxFFDx2（3）取 AB 杆为研究对象， ， ；BmaAxx Ax， ， ；BB， ，0y 0yDy。FDyAy3-13 不计图示结构中各杆的重量，力 F=40kN 。求铰链 A、B 和 C 处所受的力
14、。解：（1）取 DF 杆为研究对象， ，0Fm0245sinoBECDF， （a）024（2）取 CA 杆为研究对象，A题 3-12 图和杆件受力图题 3-13 图和杆件受力图130425sin6FFBECDo， （b）由式（a）和（b）联立解得：， ；CDBE2， ， 。0y 045cosAyBE FAy4， ，mFxAx3代入数据，得： ， ， ， 。kN8CDk16BEkN120k160AyF3-14 在图示构架中，A、C、 D 和 E 处均为铰链连接，杆 BD 上的销子 B 置于 AC 杆的光滑槽内，力 F=200 N ，力偶矩 M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求 A、B 和 C 处所受的力。解：（1）取整体为研究对象，0Em，0)6cos8.0(6. FMAy。N5.7（2）取 BD 杆为研究对象，0D，06.8.3sinNBo；N50NBF（3）取 AC 杆为研究对象，Cm， o6sin.1Ax，08.co6. NBAyF；27x， ，0yF3siCyyo题 3-14 受力图 受力图（ 1）受力图(2) 受力图（3）14；N5.187CyF， ， 。0x 03cosCxBAx N209CxF3-15 用图示三角架 ABCD 和绞车 E 从矿井中吊起重 G=30kN 的重物，ABC 为等边三角形，三角架的三只脚和绳索 DE 均与水平面成 60角，不计三角架的重
