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1、1自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数 ，如果能被数 b 整除，b 就是 的约数。自然数(除了 1 以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有 1 和它自己两个约数；合数除了 1 和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。以 12 为例，分解质因数得到 122 23。在构成 12 的约数时，质因数 2，可以取 2 个(即 224)、1 个(即 212)或者不取(即 201)，有 3 种方法， “3”比质因数 2 的
2、幂指数“2”多 1；对于质因数 3，可以取 1 个(即 313)或者不取(即 301)，有 2 种方法， “2”比质因数 3 的幂指数“1”多 1。所以，总共可以组成 326 个约数，分别是22314312，2 131236，2 031133，2 230414，2 130212，2 030111。推广到一般：如果一个数 N ibjck，其中，、b、c 是 N 的质因数，i、j、k 是这些质因数的幂指数。N 的约数的个数等于：(i1)(j1)(k1)以 360 为例，3602 3325。质因数 2、3、5 的幂指数分别是 3、2、1，所以 360 的约数有(31)(21)(11)24 个。检验：
3、360 的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共 24 个。二、约数的总和仍以 12 为例，122 23。根据上面所说的 12 的约数的构成，这些约数的总和等于：22312 1312 0312 2302 1302 030，化简后得到：(2 22 12 0)(313 0)。所以，12 的约数总和等于：(421)(31)28。检验：12 的约数有 12、6、4、3、2、1，126432128。推广到一般，如果一个数 N ibjck，其中 、b、c 是 N 的质因数，i、j、k 是这些质因数的幂指
4、数。N 的约数总和等于：(i i-1 i-21)(b jb j-1b j-2b1)(c kc k-1c k-2c1)这个结果可以化简：由恒等式(x1)(x n-1x n-2x1)x n1 推知，(x1)(x nx n-1x1)2x n1 1，于是，(x nx n-1x1) 。所以，1xnN 的约数总和等于： 1aibj 1ck仍以 360 为例。3602 3325，360 的约数总和是： 151361170。13151检验：360 的约数前面已经给出，36018012090726045403630242018151210986543211170。三、完全数一个数的所有约数中，也包括这个数自己，
5、除此之外，其余的约数都小于这个数，称为这个数的真约数。如果一个数的真约数之和正好等于这个数，这个数就叫做完全数。如，6 的真约数有3、2、1，3216，所以 6 就是一个完全数，而且是最小的完全数。更大的完全数有28、496、8128、早在两千多年以前，欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式：2 n-1(2n1)式中，n 是大于 1 的自然数，并且 2n1 必须是质数。这样就产生了另一个要求：式中的 n 不能是合数。因为：如果 n 是偶合数，设 n2m，2 n12 2m1(2 m1)(2 m1)，2 n1 等于两个数的积，2n1 就是合数，这是不允许的；如果 n 是奇合数，设 npq，(p、q
6、 为奇数)，2 n12 pq1(2 p)q1。根据前面引用过的恒等式xn1(x1)(x n-1x n-2x1)可得2 pq1(2 p)q1(2 p1)(2 p)q-1(2 p)q-2(2 p)1)2n1 等于两个数的积，2 n1 就是合数，同样是不允许的。所以 n 只能是质数。上面所说的 4 个完全数 6、28、496、8128，就是当 n 分别取前 4 个质数 2、3、5、7 时得到的。第 1 个质数是 2，当 n2 时，2 n12 21413，3 是质数，所以第 1 个完全数是 2n-1(2n1)2 2-1(221)2(41)6；第 2 个质数是 3，当 n3 时，2 n12 31817，
7、7 是质数，所以第 2 个完全数是 2n-1(2n1)2 3-1(231)4(81)28；3第 3 个质数是 5，当 n5 时，2 n12 5132131，31 是质数，所以第 3 个完全数是 2n-1(2n1)2 5-1(251)16(321)496；第 4 个质数是 7，当 n7 时，2 n12 711281127，127 是质数，所以第 4 个完全数是 2n-1(2n1)2 7-1(271)64(1281)8128；第 5 个质数是 11，当 n11 时，2 n12 1112048120472389，2047 是合数，没有与 11 对应的完全数。第 6 个质数是 13，当 n13 时，2
8、 n12 131819218191，8191 是质数，所以第 5 个完全数是 2n-1(2n1)2 13-1(2131)4096819133550336。用这种方法依次可以求出更大的完全数：第 6 个完全数是 8589869056，对应的质数 n17；第 7 个完全数是 137438691328，对应的质数 n19；第 8 个完全数是 2305843008139952128，对应的质数 n31。可以想象，越往后计算越困难，特别是所对应的质数没有规律，而判断一个数位很多的数是不是质数，就更加困难。在尚未发明电脑的时代，找到一个新的完全数，往往需要成年累月的计算，稍有不慎就会导致判断错误。有了电脑
9、以后，情况大为改观，不过，已经发现的完全数都是偶数，至于是否存在奇完全数，依然是一个未解之谜。四、多重完全数换一种视角，如果把一个数的约数(包括它自己)全部考虑在内，完全数所有约数的总和就等于它的 2 倍。那么，有没有这样的数，它的全部约数的总和等于它的 3 倍、4 倍、5倍呢？有。这样的数称为多重完全数。通常的完全数就是二重完全数。下面是一些多重完全数的例子：120 是一个 3 重完全数。1202 335，120 的约数的总和是： 1546360，360 等于 120 的 3 倍；123151672 也是一个 3 重完全数。6722 537，672 的约数的总和是： 63482016，201
10、6 等于 667 的 3 倍。517130240 是一个 4 重完全数。302402 53357，30240 的约数的总和是： 634068120960，120960 等于 3024012531511的 4 倍。14182439040 是一个 5 重完全数。141824390402 734571121719，14182439040 的约数的总和是： 25512161731171271918133182070912195200，70912195200 等于 14182439040 的 5 倍。重数更多的完全数也有，但是由于数太大，约数太多，就不再举例了。4五、完全数的余波有时，一个数的真约数之积
11、，会等于这个数的某次幂，如：12，它的真约数有 1、2、3、4、6，1234614412 2；20，它的真约数有 1、2、4、5、10，12451040020 2；45，它的真约数有 1、3、5、9、15，135915202545 2；24，它的真约数有 1、2、3、4、6、8、12，123468121382424 3；40，它的真约数有 1、2、4、5、8、10、20，1245810206400040 3；48，它的真约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24，123468121624530841648 4；80，它的真约数有1、2、4、5、8、10、16、20、40，12458101620404096000080 4；405，它的真约数有1、3、5、9、15、27、45、81、135，135915274581135269042006254054。这样的数别具一格，就只能看作是完全数的余波了。想不到，从一个数的约数谈起，竟然会引出这么多饶有兴味的问题，这再一次说明自然数的奇妙有趣。探究自然数的奥秘，无疑是数学家和数学爱好者永恒的追求。
