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1、1自然数约数的个数及所有约数的和我们知道:一个数 ,如果能被数 b 整除,b 就是 的约数。自然数(除了 1 以外)按照约数的多少,可以分成质数与合数两类:质数只有 1 和它自己两个约数;合数除了 1 和它自己以外,还有其它的约数;上面这些知识都是非常浅显的,连小学生都知道。殊不知,在这些人们耳熟能详的知识中,却隐藏着许多饶有兴味的问题。一、约数的个数一个数的约数的个数,与这个数由哪些质因数组成有关。以 12 为例,分解质因数得到 122 23。在构成 12 的约数时,质因数 2,可以取 2 个(即 224)、1 个(即 212)或者不取(即 201),有 3 种方法, “3”比质因数 2 的
2、幂指数“2”多 1;对于质因数 3,可以取 1 个(即 313)或者不取(即 301),有 2 种方法, “2”比质因数 3 的幂指数“1”多 1。所以,总共可以组成 326 个约数,分别是22314312,2 131236,2 031133,2 230414,2 130212,2 030111。推广到一般:如果一个数 N ibjck,其中,、b、c 是 N 的质因数,i、j、k 是这些质因数的幂指数。N 的约数的个数等于:(i1)(j1)(k1)以 360 为例,3602 3325。质因数 2、3、5 的幂指数分别是 3、2、1,所以 360 的约数有(31)(21)(11)24 个。检验:
3、360 的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1,共 24 个。二、约数的总和仍以 12 为例,122 23。根据上面所说的 12 的约数的构成,这些约数的总和等于:22312 1312 0312 2302 1302 030,化简后得到:(2 22 12 0)(313 0)。所以,12 的约数总和等于:(421)(31)28。检验:12 的约数有 12、6、4、3、2、1,126432128。推广到一般,如果一个数 N ibjck,其中 、b、c 是 N 的质因数,i、j、k 是这些质因数的幂指
4、数。N 的约数总和等于:(i i-1 i-21)(b jb j-1b j-2b1)(c kc k-1c k-2c1)这个结果可以化简:由恒等式(x1)(x n-1x n-2x1)x n1 推知,(x1)(x nx n-1x1)2x n1 1,于是,(x nx n-1x1) 。所以,1xnN 的约数总和等于: 1aibj 1ck仍以 360 为例。3602 3325,360 的约数总和是: 151361170。13151检验:360 的约数前面已经给出,36018012090726045403630242018151210986543211170。三、完全数一个数的所有约数中,也包括这个数自己,
5、除此之外,其余的约数都小于这个数,称为这个数的真约数。如果一个数的真约数之和正好等于这个数,这个数就叫做完全数。如,6 的真约数有3、2、1,3216,所以 6 就是一个完全数,而且是最小的完全数。更大的完全数有28、496、8128、早在两千多年以前,欧几里得就曾经给出了偶完全数的计算公式:2 n-1(2n1)式中,n 是大于 1 的自然数,并且 2n1 必须是质数。这样就产生了另一个要求:式中的 n 不能是合数。因为:如果 n 是偶合数,设 n2m,2 n12 2m1(2 m1)(2 m1),2 n1 等于两个数的积,2n1 就是合数,这是不允许的;如果 n 是奇合数,设 npq,(p、q
6、 为奇数),2 n12 pq1(2 p)q1。根据前面引用过的恒等式xn1(x1)(x n-1x n-2x1)可得2 pq1(2 p)q1(2 p1)(2 p)q-1(2 p)q-2(2 p)1)2n1 等于两个数的积,2 n1 就是合数,同样是不允许的。所以 n 只能是质数。上面所说的 4 个完全数 6、28、496、8128,就是当 n 分别取前 4 个质数 2、3、5、7 时得到的。第 1 个质数是 2,当 n2 时,2 n12 21413,3 是质数,所以第 1 个完全数是 2n-1(2n1)2 2-1(221)2(41)6;第 2 个质数是 3,当 n3 时,2 n12 31817,
7、7 是质数,所以第 2 个完全数是 2n-1(2n1)2 3-1(231)4(81)28;3第 3 个质数是 5,当 n5 时,2 n12 5132131,31 是质数,所以第 3 个完全数是 2n-1(2n1)2 5-1(251)16(321)496;第 4 个质数是 7,当 n7 时,2 n12 711281127,127 是质数,所以第 4 个完全数是 2n-1(2n1)2 7-1(271)64(1281)8128;第 5 个质数是 11,当 n11 时,2 n12 1112048120472389,2047 是合数,没有与 11 对应的完全数。第 6 个质数是 13,当 n13 时,2
8、 n12 131819218191,8191 是质数,所以第 5 个完全数是 2n-1(2n1)2 13-1(2131)4096819133550336。用这种方法依次可以求出更大的完全数:第 6 个完全数是 8589869056,对应的质数 n17;第 7 个完全数是 137438691328,对应的质数 n19;第 8 个完全数是 2305843008139952128,对应的质数 n31。可以想象,越往后计算越困难,特别是所对应的质数没有规律,而判断一个数位很多的数是不是质数,就更加困难。在尚未发明电脑的时代,找到一个新的完全数,往往需要成年累月的计算,稍有不慎就会导致判断错误。有了电脑
9、以后,情况大为改观,不过,已经发现的完全数都是偶数,至于是否存在奇完全数,依然是一个未解之谜。四、多重完全数换一种视角,如果把一个数的约数(包括它自己)全部考虑在内,完全数所有约数的总和就等于它的 2 倍。那么,有没有这样的数,它的全部约数的总和等于它的 3 倍、4 倍、5倍呢?有。这样的数称为多重完全数。通常的完全数就是二重完全数。下面是一些多重完全数的例子:120 是一个 3 重完全数。1202 335,120 的约数的总和是: 1546360,360 等于 120 的 3 倍;123151672 也是一个 3 重完全数。6722 537,672 的约数的总和是: 63482016,201
10、6 等于 667 的 3 倍。517130240 是一个 4 重完全数。302402 53357,30240 的约数的总和是: 634068120960,120960 等于 3024012531511的 4 倍。14182439040 是一个 5 重完全数。141824390402 734571121719,14182439040 的约数的总和是: 25512161731171271918133182070912195200,70912195200 等于 14182439040 的 5 倍。重数更多的完全数也有,但是由于数太大,约数太多,就不再举例了。4五、完全数的余波有时,一个数的真约数之积
11、,会等于这个数的某次幂,如:12,它的真约数有 1、2、3、4、6,1234614412 2;20,它的真约数有 1、2、4、5、10,12451040020 2;45,它的真约数有 1、3、5、9、15,135915202545 2;24,它的真约数有 1、2、3、4、6、8、12,123468121382424 3;40,它的真约数有 1、2、4、5、8、10、20,1245810206400040 3;48,它的真约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24,123468121624530841648 4;80,它的真约数有1、2、4、5、8、10、16、20、40,12458101620404096000080 4;405,它的真约数有1、3、5、9、15、27、45、81、135,135915274581135269042006254054。这样的数别具一格,就只能看作是完全数的余波了。想不到,从一个数的约数谈起,竟然会引出这么多饶有兴味的问题,这再一次说明自然数的奇妙有趣。探究自然数的奥秘,无疑是数学家和数学爱好者永恒的追求。