量子力学辅导刚要1

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1、量子力学辅导纲要（1）第 1 章 量子理论的实验基础主要内容：1实验与传统理论的尖锐矛盾，提出新理论的必要性。2深刻理解哪些实验验证了哪些新物理概念。由此认识到这些实验为建立新理论奠定了基础。3普朗克假设的物理意义及其对黑体辐射的解释；4德布罗意波假设的物理意义及戴维孙戈末实验；5由 解释康普顿散射及光电效应。,Epkrh重点掌握：1.黑体辐射与普朗克的量子假设绝对黑体是指能吸收投射到它表面上各种波长全部辐射的物体，简称黑体。维恩公式（1）312dexpdcT式中， 为常数。该公式在高频时与实验符合，在低频时与实验不符。21,c瑞利和金斯利用电动力学和经典统计理论导出了另一个黑体辐射公式， （

2、2）238ddkc式中， 是光速， 是玻耳兹曼（Boltzmann）常数。瑞利-金斯公式与维恩公式刚好相ck反，只在低频时与实验结果符合，而在高频时与实验结果不符。容易看出，在频率趋于无穷大时，辐射能量也将趋于无穷大。这显然不合理。 普朗克的能量子假说，即，物体只能以 为能量单位吸收或发射频率为 的电磁h波，这里 是一个普适常数。由此他推出h （3）338ddexp1hckT称为普朗克常数，现在测得其值为hsJ106275. 34h更方便的是用1.04的量纲为hsJh即 具有角动量的量纲，也是作用量纲。能量子这一概念显然不可能由经典物理学推出。这是一个突破性的新概念，是量子力学的起点。普朗克公

3、式在高频时与维恩公式一致，在低频时与瑞利-金斯公式一致。 2普朗克爱因斯坦光量子假说 爱因斯坦认为电磁辐射是由光量子组成，每个光量子的能量 与辐射频率 的关E系是（4）h此即爱因斯坦的光量子假说。由此他推出了解释光电效应的公式（5）201mW根据光的动量和能量的关系 ，爱因斯坦进一步指出光量子有动量，cEp（6） ,2knhnvhvv康普顿（Compton）散射实验证实了这一设想是正确的。3康普顿效应在轻元素的原子中，电子的束缚能和动能都很小。将 X-射线入射到这种轻元素的物质中，忽略电子的束缚能和动能，可将电子对 X-射线的散射近似看作静止电子对光子的散射。由此可得散射光频率的改变量是， 。

4、 2sincnmcc 4013.2/h（7）按经典物理，散射光的频率等于入射光的频率，是不可能解释康普顿效应的。康普顿效应很好地验证了爱因斯坦的光量子假说。4原子光谱及玻尔模型 原子光谱的巴耳末公式（8）21mncRHnm其中， ，称为里德伯（Rydberg）常数， 为频率，1543.1097HR ，且 和 皆为整数。nmn原子的线状光谱和原子的稳定性不可能由经典理论解释。按经典理论，在原子中作加速运动的电子必将产生辐射，其辐射频率应该是连续的，而非线状的；电子通过辐射放出能量后，会沿着螺旋线不断地落向原子核，最终会掉到到原子核上去，这样原子就不可能是稳定的。可是，事实并非如此。为解释这些实验

5、结果，1913 年，年轻的丹麦物理学家玻尔（Bohr）提出了两个重要的假设： 定态假设： 原子能且只能稳定地存在于与分立的能量相应的一系列状态中，这些状态称为定态。原子能量的任何变化，都只能在两个定态之间以跃迁的方式进行。 跃迁假设： 原子在能量分别为 和 （ ）的两个定态之间跃迁时，nEmmnE发射或吸收的电磁辐射的频率 满足如下的关系式。 （9）mnh5角动量量子化条件：作圆周运动的电子的角动量 只能是 的整数倍，Jh （10）Lh,321, nJ索末菲将其推广到不限于圆轨道的周期过程和多自由度情况，（11）d ,kkpq其中， 为一对共轭的正则坐标和正则动量， 表示对一个周期运动的积分。

6、kq, （11）被称之为玻尔-索末菲量子化条件。玻尔的量子论不但解释了实验上已发现的氢原子的光谱系，而且，预言的新譜系也被莱曼在实验中观测到,预言的 光谱也被证实。玻尔理论也直接解决了原子稳定性问题，He并且与普朗克爱因斯坦的光量子假说相一致（原子定态的能级差和光量子的能量都是量子化的） 。玻尔量子论的局限性和存在的问题是，它无法解释复杂原子的光谱结构；不能给出处理譜线强度的方法；不能处理非束缚态的问题。6德布洛意物质波假设与戴维逊戈末实验 德布洛意假定：所有粒子都如同光子一样，既有粒子性，也有波动性。表征其粒子性的能量 ，动量 和表征其波动性的频率 ，波矢量 的关系为（称之为德布洛意Eprk

7、r关系）。 （12）nhkpErrh2与自由粒子相联系的波 称为物质波或德布洛意波， （13）hv/)(),(EtrpiAetr式中 是波振幅。A7戴维逊和革末实验 戴维逊和革末在 1927 年用实验直接证明了粒子的波动性（即波动特有的干涉和衍射现象） 。他们用具有一定动量（从而具有一定波长）的电子垂直入射到磨光镍单晶的一个晶面上，测量不同角度的反射波强度。其结果与 X-光在光栅上的衍射现象相似。在这里，磨光的镍单晶晶面等效于一个反射光栅。不同取向的晶面，光栅常数 不d同。当电子波长 ， 与角 （反射电子动量与晶面法线的夹角）满足d， （15）nsi ,21时，反射波加强，电子密度极大。实验结

8、果与理论预言完全一致。此后的大量实验证实，中子，原子，分子等也都具有波动性。波动性是物质粒子的普遍属性。第 2 章 波函数与薛定谔方程主要内容：1德布洛意物质波的波粒两象性本质及玻恩的概率解释；2德布洛意物质波的叠加原理及其与经典波叠加原理的差别；3薛定谔方程及基本的算符化规则；4由概率流及概率的连续有限性理解波函数定态解的物理条件；5定态薛定谔方程及其特点。重点掌握：1波函数的统计解释 波粒两象性德布洛意的物质波假设的实质是：每一个粒子都必然地伴随一个德布洛意波，每一个粒子都既有粒子的性质，又有波动的性质，就是所谓的波粒两象性。一个统一体怎样同时具有这两种性质呢？从经典物理学的概念出发，有一

9、种观点（代表人是薛定锷）认为：把电子看作为某种物质波形成的波包。这种观点的根据是波包的群速度 等于粒子的速度 。由此似乎可dk/v将粒子看作波包，但这是行不通的。因为 ，波包必然要弥散到很大的空间中去。0这显然与粒子的有限大小完全不符。在迭加原理成立的线性理论中，不可能有孤立子解（不扩散且局限在空间小区域中的波包） ，以上分析无疑是正确的。实际上，在非线性理论中，既使孤立子解存在，也不能将粒子看作德布洛意波的波包。孤立子本质上不同于通常粒子。另一种观点是，电子德布洛意波是由分布于空间中的大量电子形成的。这也是错误的。在戴维逊革末实验中，如果让电子一个一个的入射，那么，开始时，底板上只有一个一个

10、孤立的斑点，看不出任何规律，但长时间之后，底板上将出现很有规律的，与大量电子同时入射相同的干涉花样。这充分说明单个电子也有波动性，每个电子都有属于它自己的德布洛意波。氢原子只有一个电子，这一电子运动的稳定性和能级的量子化也充分说明了单个电子必然伴随有属于它自己的德布洛意波。以上分析表明，在经典物理学基础上，很难解释清楚德布洛意波。电子不是经典物理学意义上的粒子，也不是经典物理学意义上的波。按经典物理学，所谓粒子，必具确定的电荷及质量；其运动状态由其确定的位置和动量描述，因而其运动必有确切的轨道；并且是整体性地参与相互作用。所谓波，其存在范围是非定域的，不是波动的各个部分同时参与作用，同时发生变

11、化，而是其某一部分参与作用后，发生变化，再将作用逐渐传播开来；波动由其振幅，频率 和波矢 描述，遵循相应的经典波动方程；对于线性波动方kr程，迭加原理成立，因而有干涉和衍射现象；量子理论中的粒子，即伴随着德布洛意波的粒子，不可能同时有确定的动量和位置，因而不可能再有确定的运动轨迹，这不同于经典粒子；由以上分析，我们看到，由于粒子伴随有德布洛意波，它失去了部分粒子性质（运动轨迹） ，仅保留有整体性这一性质；德布洛意波是一种波，但由于其伴随有粒子，它失去了部分波动性，仅保留了部分波动性（ 及迭加性） 。kv,以上为了说明方便，我们用粒子和伴随它的德布洛意波两个概念说明新的粒子性和新的波动性。实际上

12、，粒子和伴随它的德布洛意波是一个统一的整体，这一新的整体具有部分经典意义下的粒子性，也具有部分经典意义下的波动性。对这一整体的性质正确概括是玻恩作出的，他将德布洛意波解释为概率波。概率波玻恩对德布洛意波 的解释是，不论是德布洛意的物质波，还是薛定谔的波),(trv函数（见后）都不是什么实在的物理量的波动，只不过是描述粒子在空间的概率分布的概率波而已。即， 是概率波的波幅， 是粒子 时刻在 点出现的概率密度。),(tr2),(trvtrv因为 是概率波，v2121),(),(trCtr所以其绝对振幅并不重要，相对振幅是有实际测量意义的，相对振幅决定了相对概率的大小。因为在整个空间中，找到粒子的概

13、率必然是 1，所以按这种解释，应该有 （） ,1),(),(223trdtrxdvv称为归一化的波函数。如果 没有归一化，那么显然可以重新定义一个波函),(trv,t数 ， ，如此 。由于平面波不是),(trCv22)(rdv1),(2trdv平方可积的， （）Crpid)ex(h所以不能将平面波归一，而将其归为 函数。令 ，我们有3)2(1h， （）)/exp(21)(hipxi。 )()/exp()2(1/()( 333 pririd vhvv （）玻恩这种解释意味着德布洛意波存在着，有其干涉和衍射，但它却不是任何可测物理量的波动，它不是什么物质波。波函数完全确定了体系的状态，体系的状态不

14、依赖于潜在可测的力学变量。一个物理体系的状态显然要由这一体系同时可测的物理量决定。而波函数完全确定了体系的状态，因此体系的波函数也必须完全由这一体系可测的物理量决定。此即后面将讲到的，力学量完全集完全确定了体系的状态波函数。2叠加原理量子理论中的叠加原理是：如果 、 、 是体系的可能状态，则它们的线12n性叠加得出的波函数， （5）niiCC11也是体系的一个可能状态。应强调指出，概率波的迭加只能是属于同一个粒子的相应于不同状态的概率波的叠加，而不是不同粒子的概率波的叠加。而且，概率波的迭加是概率幅相加，而不是概率相加。因此有干涉项出现。概率波满足叠加原理，也就是一个体系的概率波对数乘和加法运算满足封闭性，如此，一个体系的所有波函数及零矢量形成一个线性空间。 3薛定谔方程（）2i(,)(),rtVrtmhh1212121i, (),)(,)nnii nnittUrrrtvvv。（7）几点讨论：（1）由（6） ， （7）可知，薛定谔方程是一个非相对论波动方程，只适用于低能粒子的体系。另一方面，这里没有讨论粒子的产生和消灭，因此方程只适合于粒子数不变的体系。(2)薛定谔方程是一个复函数的方程，一般情况下，它的解（即波函数 ）应),(tr该也是一个时间和坐标的复函数。(3)由于薛定谔方程中只含有描述状态的波函数对时间的一阶