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1、论场论三度与两大定理在物理的应用张 晗30901068信计 0901时间与空间是物理最基本的物理量：我们也为了了解物理量随时间变化而做多次实验，定义了很多关系，比如速度等于位移随时间变化率, 加速度等于速度随时间变化率,v 等于能量随时间变化率等, 因为时间是纯量 所以处理起来还算比较简易。我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是就有了梯度，散度与旋度等数学运算。首先，我们可以先了解一下梯度。梯度在教材上的定义是，如果 f 在点 a 所有的偏导数都存在，称向量nfD,1K为 f 在点 a 的梯度（gradient） ，记为 或 。grdf如果 f 在点 a
2、 可导，根据全导数的定义， .)(1fivnifDT当 u 是单位向量时，方向导数 有着明显的几何意义，如果uf;记 是向量 u 和梯度 的夹角，则.0f .coscos; ffff 当 u 与 同方向时， =0，所以在 f 在点 a 的全部方向导数中，沿着的单位向量 的方向导数最大。faf在 中，梯度经常写为2;j,i, yxfxfyf在 中，梯度写为3.k,j,i, zyxfzyxfzyxfzyxf 在物理中，力做功将能量储存成位能 (或者以向Fzd-ydx-FU量内积 Fdr 表示)因此反过来可知 , , 因xU此定义Fxi + Fyj +Fzk = -U 其中U= du/dxi +dU
3、/dyj + du/dzk 称为位能的梯度。以重力场为例，水平方向能量都一样，因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度，位能会增加，因此作用力向下，由于力是负的梯度，位能随高度增加，梯度是正的，因此作用力就朝下。若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大，比如较陡的山，在等高线的垂直方向上高度的变化率最大，也就是最陡。我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！在矢量场中作一些曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点相应的矢量方向一致，线的疏密程度表示该点矢量场的大小。这样的曲线簇称为矢量场的力线或流线。用这些力线可以形象地想象，描写和分析矢量场的分布和性质，如流体力学里
4、流线，电磁学中的电力线，磁力线等等。为了说明所包围的闭曲面内每点的性质，常需要引入矢量场散度的概念。接下来，我们可以谈谈散度和旋度。散度的定义与所选取的坐标系无关，但在不同的坐标系中有不同的表达式。而旋度与散度一样，都是矢量在空间变化的一种描述。散度在教材上的定义是，设 是向量场，其中 DnnDf:,f1K是 的开集，如果对于每个 k=1,.,n,偏导数 在 D 上存在，则称数量场nkxfdiv f：DR, xf div11nknxfffL为向量场 f 在 D 上的散度（divergence）。散度对任意维度都有定义。而旋度在教材上的定义是，设 是向量场，其中 D3:,fDRQPn是 的开集，
5、如果 P,Q,R 全部的偏导数存在,则称数量场 rot f：DR,n zyxPQzyxRzPyxzQRzyx ,frot 为向量场 f 在 D 上的旋度（rotation）。当 f 是数量场 的梯度，即,kzjifyx则 f 的 Jacobi 矩阵 2222fzyzxxzyxD所以 .f div22zyx上面的式中，右边为 的 Laplacian,通常缩写为 ，即梯度 的或 散度是 的 Laplacian.在符号上，.div2如果 ，称 为调和函数，上面式子说，调和函数的梯度的散度是零。0我们称散度为零的向量场为无源场。如果 的全部二阶偏导数存在并且是连续的，根据教材中曾学过的定理3.3.1,
6、则上面矩阵是对称的,所以 rot f=0，即0rot对于任何有连续二阶偏导数的数量场均成立。我们称旋度处处为零的向量场为无旋场.一个无旋无源场称为调和场。调和场与调和函数有着密切的联系。在物理中，电场是单位电荷所受的力，电位就是单位电荷的电能。据我们所知，电场源自于电荷，而磁场源自于电流，电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线，或者说电场是径向力，而在电流的方向上没有磁场，磁场存在于与电流方向垂直的平面方向。人们虚构出来的电场或磁场，都是通过观察力的效应。电与电磁作用力在连心线方向的是电场，与连心线方向垂直的便是磁场。散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场，如开放电力线；而旋度则
7、适用于类似磁场这类封闭磁力线的场。例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致。在一些文献资料中，散度的物理意义经常会通过对通量的表现来体现。例如，我们可以对于场内取定的一点 M，任意做一点包围点 M 的封闭曲面 ，所围的区域位于场内。C 类向量场 F(x,y,z)视为不可压缩流体的稳定速度场并且散度 取外侧时，定向曲面积分 FdS表示单位时间通过 流向 外部的流体的总质量，称为向量 F 通过 流向外侧的通量。数值 FdSV1其中，V 是 的体积，上面公式是流速场 F 中单位时间从单位体积内流出 的平均流量，称为流速场 F 在 内的平均源强。由 Gauss 定理，我们可得,divi1M
8、VdSV其中点 ，令 向 M 收缩，由上式得 .divilm1liMFFdS上述极限就称作流速场在 F 点处的源头强度。上式使我们将向量场 F 的散度看成是不可压缩流体的稳定流场 F 在 M 处的源头强度。当 divF(M)0,则对于电 M 的邻近的封闭曲面 ，有 ,0FdS称向量场在点 M 处有正源，否则称为负源。而|divF(M)|则称为源的强度。而旋度常与环流量结合起来讨论，比如，可以在场内取定一定 M，同时取定一单位向量 ,过点 M 作一张以 为法向量的定向平面 ，在 上任取一条ee包围点 M 的光滑闭曲线 ，记 为定向平面 被 所围的部分， 的走向与定向平面 的侧符合右手法则 MeF
9、SdedSFrd rotrot1ot1其中 为 的面积，点 ，上式右端M的 为换流量对面积的变化率，称为 为rdF1 上沿方向 的平均环量密度。e令 向点 M 收缩，由上式得(1) MMeFerdFrotrt1lim1li(1)式左端的极限称为 在点 M 处沿方向 的环量密度。(1)式表明： 在点 M 点处的旋度 上的投影。通过改变 的方向，可以使ee环流量密度达到最大，显然这一最大值当 与 方向相同时取得。这就是Frot说，当时点 M 的平面与该点的旋度垂直时，在该平面内绕 M 点的密度达到最大。所以， 是向量场 取得最大环量密度的方向，在该方向上，最大环量密度Frot为 .总结以上信息，我
10、们可以得出，已知矢量 A，梯度表示为： A，只有标量才能计算梯度，所以只能对矢量 的模取梯度，而梯度是一矢量，其大小为某点的方向导数的最大值，其方向为取得最大方向导数的方向；旋度表示为：A，旋度是一矢量，其大小为最大环量面密度，其方向为取得最大环量面密度的面元的法向方向；散度表示为： A，散度是一标量，表示 A通过某点处单位体积的通量，即通量体密度。任何梯度的旋度为零，任何旋度的散度为零。但是不论是梯度,散度,旋度,都是一种 local 的量(纯量,向量),所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况。既然是在讨论场论，那么场论中最重要的两个公式当然不能落下。其中一个便是我们经常耳
11、闻的 Gauss 公式 SdAvs另一个为斯托克斯公式 SdAlscrot在众多科学研究中，我们可以得知稳恒磁场的两个积分方程：一个是将高斯定理运用到磁场中，可得(2) SLdJlB0安培环路定理为(3) SdB0由高斯积分变换定理 VBdS于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积 V 上式右方均为零。将 V 缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：.B = 0 （4） 再由斯托克斯积分变换定理 dSBdlSL由面积 S 的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式稳恒磁场的旋度方程：B = 0J （5）（4）和（5）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质。方程（4）表示稳恒电流的磁场是“无散场”。虽然它是从毕奥萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立。（5）则表示在 J0 处，B 0，稳恒磁场的 B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在 J = 0 的地方，B = 0，涡旋不是在此处形成。梯度，散度，旋度和两大重要定理在物理应用中有着非常广的应用，特别是在电磁场这一块，是十分重要的数学理论。*参考文献数学分析(,)豆丁网文档
