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1、量 子 力 学 习 题第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m与温度 T 成反比，即mT=b(常量） ；并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。1.2 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。1.3 氦原子的动能是 E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。1.4 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10 特斯拉，玻尔磁子 MB=910-24 焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔 E，并与 T=4K 及
2、T=100K 的热运动能量相比较。1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章 波函数和薛定谔方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度：(1) 1=eikr/r, (2) 2=e-ikr/r.从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。2.2 一粒子在一维势场 axxU0,)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4 一粒子在一维势阱 axUx,0)(中运动，求束缚态(0V0 情形分别讨论。2.9 质量为 m 的粒子只能沿圆环
3、（半径 R）运动，能量算符2dmRHh， 为旋转角。求能级(E n)及归一化本征波函数 n()，讨论各能级的简并度。第三章 基本原理3.1 一维谐振子处在基态tixex21)(，求：(1) 势能的平均值2U；(2) 动能的平均值2pT；(3) 动量的几率分布函数。3.2 设 t=0 时，粒子的状态为(x)=Asin2kx+1coskx，求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a，如果粒子的状态由波函数(x)=Ax(a-x)描写，A 为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4 证明：如归一化的波函数 (x)是实函数，则 =ih/2；如 =
4、(r)（与 ， 无关） ，则= 3/2 。3.5 计算对易式x , Ly，p z, Lx，并写出类似的下标轮换式 (xy, yz, zx)。3.6 证明算符关系 piLprrh23.7 设 F 为非厄米算符(F +F)，证明 F 可以表示成 A+iB 的形式，A、B 为厄米算符。求 A、B 与 F、 F+之关系。3.8 一维谐振子(V 1= 2kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在 V2 场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9 有线性算符 L、M、K，L, M=1，K=LM 。K 的本征函数、本征值记为n、 n (n=1, 2, .)。证明：
5、如函数 Mn 及 Ln 存在，则它们也是 K 的本征函数，本征值为( n1)。3.10 证明：如 H= 2pr/2m+V( r)， 则对于任何束缚态=0。3.11 粒子在均匀电场中运动，已知 H= 2/2m-qx。设 t=0 时x=0， xp=p0，求 (t)， x(t)。3.12 粒子在均匀磁场 Br=(0, 0, B)中运动，已知 H= 2pr/2m Lz， =qB/2mc。设 t=0 时=(p0, 0, 0)，求 t0 时。3.13 粒子在势场 V( r)中运动，V 与粒子质量 m 无关。证明：如 m 增大，则束缚态能级下降。第四章 中心力场4.1 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在
6、球极坐标中的分量是Jer=Je=0,Je= 2sinmlrh。4.2 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1) 求一圆周电流的磁矩。(2) 证明氢原子磁矩为 )(2CGSIcmeMzh原子磁矩与角动量之比为)(2CGSIceLz这个比值，称为回转磁比率。4.3 设氢原子处于状态 ),(23),(21),( 110 YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量 z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。4.4 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5 对于类氢离子的基态 100，求概然半径（最可几半径）及 ,r2。4.6 对于类氢离子的 nlm 态，
7、证明= 21= En。4.7 对于类氢离子的基态 100，计算 x, px，验证不确定关系h。4.8 单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成 10,)(2raerV试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数 n 的修正数公式。提示：将 V(r)中第二项与离心势合并，记成 2/)1(rlh，计算( l)之值，.。第五章 表象理论5.1 设 n， k是厄米算符 H的本征态矢，相应于不同的本征值。算符F与 H对易。证明 =0。 5.2 质量为 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则 2)(hnxikeE(为实数)
8、 。5.3 对于一维谐振子的能量本征态n ，利用升、降算符计算、 x、 p。5.4 设 Jr为角动量， r为常矢量，证明 J, nr =ihr J5.5 对于角动量r的 jm态（ 2, Jz 共同本征态） ，计算 Jx、J y、J x2、J y2 等平均值，以及 Jx、 Jy。5.6 设 nr（单位矢量）与 z 轴的夹角为 ，对于角动量r的 jm态，计算（即 J的平均值） 。5.7 以 lm表示 2Lr，L z 共同本征态矢。在 l=1 子空间中，取基矢为1,0,1, 建立 ，L z 表象。试写出 Lx 及 Ly 的矩阵表示（3 阶） ，并求其本征值及本征态矢（取 h=1） 。*5.8 对于谐
9、振子相干态 (a = , 为实数)，计算 En， ，px，。第六章 微扰理论6.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。6.2 转动惯量为 I、电偶极矩为 D 的空间转子在均匀电场 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。6.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01 及 E02，现在受到微扰 H的作用。微扰矩阵元为 H12=H21=a, H11=H22=b; a, b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。6.4 一电荷为 e 的线性谐振子受恒定弱电场 作用，设电场沿正 x 方向：(1) 用微扰法求能量
10、至二级修正；(2) 求能量的准确值，并和(1) 所得结果比较。 6.5 设在 t=0 时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为 sint， 及 均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻 t 跃迁到电离态的几率。6.6 基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即 0;,0tet求经过长时间后氢原子处在 2p 态的几率。6.7 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。6.9 粒子（质量 ）在无限深势阱 00)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取
11、试探波函数 (, r)=Aexp(2r2)。6.12 某量子力学体系处于基态 1(x)。t0 后受到微扰作用，H (x,t)=F(x)et/，试证明：长时间后(t )该体系处于激发态 n(x)的几率为/22121hEFn第七章 自旋7.1 证明 izyx。7.2 求在自旋态)(21s中， xS和 y的测不准关系：?27.3 求 012hxS及 0iSyh的本征值和所属的本征函数。7.4 求自旋角动量在(cos ，cos ，cos )方向的投影 coscoszyxn S的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量 zS有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS的平均值是多少？7.5 设氢
12、原子的状态是 。),(23)110YrR(1) 求轨道角动量 z 分量 zL和自旋角动量 z 分量 zS的平均值；(2) 求总磁矩 eM2(SI)的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示） 。7.6 求电子的总角动量算符 2Jr，J z 的共同本征函数。7.7 在 Sz 表象中，证明 iiieez0。7.8 对于电子的 JSLr，, 证明（取 1h） 22)(4JJLrr7.9 电子的总磁矩算符是 )(2SLcmeSLrrr对于电子角动量的 l j j 态(m j=j)计算 z 的平均值(结果用量子数 j 表示出来)。第八章 多粒子体系8.1 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？8.2 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是 U(r)= 212r2。如果电子之间的库仑能和 U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿 x 方向的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。8.3 某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为 s。求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。8.4 某体系由三个粒子组成，单粒子状态为 , , ,., 写出体系波函数的可能类型（忽略粒子间相互作用） 。(a) 全同玻色子；(b) 全同费密子；(c) 不同粒子。
