圆的面积计算 教材分析

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1、1教材分析:圆是小学数学平面图形教学中唯一的曲线图形。本课是在学生了解和掌握了圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。教材将理解“化曲为直”的转化思想贯穿在活动之中。通过一系列的活动将新的数学思想纳入到学生原有的认知结构之中，从而完成新知的建构过程。学好这节课的知识，对今后进一步探究“圆柱圆锥”的体积起着举足轻重的作用。【教学目标】1、 了解圆的面积的含义，经历圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积计算公式。2、 能正确运用圆的面积公式计算圆的面积，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题。3、在估一估和探究圆面积公式的活动中，体会“化曲为直”的

2、思想，初步感受极限思想。教学重点】探索并掌握圆的面积公式。【教学难点】2探索推导圆的面积公式，体会“化曲为直”思想。【教具准备】投影仪，多煤体课件,圆形纸片。【学具准备】圆形纸片。【教学设计】一、 创设情境。提出问题（投影出示 P16 中草坪喷水插图）这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积）二、 探究思考。解决问题1、估计圆面积大小师：请大家估计半径为 5 米的圆面积大约是多大？（让同学们充分发挥自己感官，估计草坪面积大小）-2、 用数方格的方法求圆面积大小 投影出示 P16 方格图，让同学们看懂图意后估算圆的面积，学生可以讨论交流。3 指明反馈估算结果，并说

3、明估算方法及依据。1、 根据圆里面的正方形来估计2、 用数方格的方法来估计。三、 探索规律1、 由旧知引入新知师：大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积来的吗？（学生回答，教师订正。那么圆形的面积可由什么图形面积得来呢。2、 探索圆面积公式师：拿出我们剪好的图形拼一拼，看看能成为一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视）指名汇报（学生在说的同时教师注意板书）请大家来观察一下刚才拼成的哪个图形更接近长方形呢？等分为 32 份的更接近长方形。想象一下，如果把一个圆等分的份数越多，拼成的图形越接近什么图形呢？等分的份数越多

4、，就越接近长方形。4观察黑板上的板书，你能否由平行四边形或者长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。（生说，教师板书）因为拼成的平行四边形的底也就是圆形周长的一半；平行四边形的高就是圆形的半径。而平行四边形面积=底高，那么圆形面积公式=圆周长的 半径即可。21因为拼成的长方形的长也就是圆形周长的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面积=长宽，那么那么圆形面积=圆周长的 半径即可。21用字母怎么表示圆面积公式呢？S= r r 还可以写作 S= r2师：这说明求圆的面积只需要知道半径即可，那我只告诉你们圆的直径又如何求出圆的面积呢，请大家自己把这个公式写出来。教师板书。3、 应用圆

5、面积公式根据下面的条件,求圆的面积。r=6 厘米 d =0.8 厘米 r=1.5 分米师：现在请大家用圆面积公式计算喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田。(学生独立解答，指名回答）5四：拓展应用习题设计：1.填空：（）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为（ ）。（）一个圆的半径是 3 厘米，求它的周长，列式（ ），求它的面积，列式（ ）。（）一个圆的周长是分米，这个圆的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。.判断：（）半径是厘米的圆，周长和面积相等（ ）让孩子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。（）一个圆形纽扣的半径是厘米，它的面积是多少？列式：XX平方厘米。（ ）。此题

6、在计算的时候把看作，而（）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ）（）一个圆的半径扩大倍，面积也扩大倍。（ ）6（）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（ ）.实际应用：一块圆形铁板的半径是 3 分米,它的面积是多少平方分米?4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多?(1)可测圆的半径,根据 S=r2 求出面积。(2)可测圆的直径,根据 S=(d/2)2 求出面积。(3)可测圆的周长,根据 S=(c/2)2 求出面积。实践练习:圆形的物体生活中随处可见，公园的露天广场是个圆形，怎样才能计算广场的面积呢？让学生讨论，你有哪些方案？并留给学生课后去实

7、践。这样，使学生意犹未尽，感到课虽尽，但疑未了，为下一课已知周长求面积埋下伏笔。修改稿：一、 创设情境。提出问题（投影出示 P16 中草坪喷水插图）7师：同学们，这是现代化农田里的一个自动喷水头，喷射的距离为 5 米，你们谁知道喷水头喷射一周，我们得到了一个什么样的图形？学生回答：圆形课件演示喷射过程，理解什么是圆的面积你们想知道这样一个自动喷水头它喷射一周浇灌的农田面积是多少吗？这节课我们就来学习如何求喷水头转动一周浇灌的面积有多大。（板书：圆的面积）第二环节估计圆面积大小的两种设计哪个好呢？方案一：出示课件：用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,(如图)观察后得出圆面积比 4

8、 个小正方形小,好象又比 3 个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于 r2 的 3 倍多。由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。8三、 探索规律1、 由旧知引入新知我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形, 大家还记得我们以前学习的平行四边形、三角形、梯形面积分别是由哪些图形的面积推导来的吗？（学生回答后教师课件演示平行四边形，三角形，梯形面积推导过程。）今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢?这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与 r

9、2 的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2r)产生混淆。2、 探索圆面积公式（1） 学生操作师：请大家拿出准备好的 16 等分的圆，和小组同学一起剪一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？并考虑你拼成的图形与原来的圆形有什么关系？（同学们开始操作，教师巡视）（2）指名汇报9初步汇报：你们把圆转换成了什么图形？（在学生说的同时教师课件演示）学生可能出现的 4 种情况：（3）操作反思小组内拿出 32 等分的圆形，剪一剪，拼成一个长方形，和用16 等分的圆拼成的长方形比较你发现了什么？ 32 等份后拼成的图形更接近于长方形如果把一个圆等分成 64 份、128 份拼成的

10、长方形会怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。)（4）转化思考：近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?(圆周长的一半，C/2=r),它的宽是圆的哪一部分?(半径 r)课件演示（5）观察汇报： 你能否由长方形的面积公式得到圆形面积公式呢？并说出你的理由。 因为拼成的长方形的长也就是圆形周长10的一半，长方形的宽就是圆形的半径。而长方形面积=长宽，那么那么圆形面积=圆周长的 1/2半径即可。（生说，教师板书）用字母怎么表示圆面积公式呢？指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的

11、空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。 （6）拓展探究：根据上面的由长方形的面积计算公式推导出来圆的面积计算公式，你是否受到了启发？刚才还有的同学把圆转化成了平行四边形，等腰三角形或者是梯形，你能试着用你转化成的那个图形的面积公式推出圆的面积公式吗？小组探究尝试，然后汇报，师根据汇报演示：1 把圆 16 等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=r/2）,高等于圆半径的 2 倍(2r),所以 S=r/22r=r2 。2 圆 16 等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底相当于圆周长的 1/4,高相当于圆半径的 4 倍,所以S=1/22r/

12、4r=r211。3 把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的 2 倍,所以S=1/2r2r=r2（7）总结：无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式 S=r2,验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时,都要知道半径。引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。（8）升华：今天我们探究出了圆的面积计算公式，真了不起，在人们没有总结出这个公式的

13、时候， 如何计算圆的面积，是各国数学家共同关心的问题。老师这里有一段小故事，大家一起来读一读。内容：刘徽在校注九章算术时，创立了一种新的数学方法 “割圆术”来进行有关圆的计算。九章算术中已有圆面积的计算公式，但没有说明是怎么来的，刘徽为此苦苦思索，有一次他看见石匠在加工石料，石匠把一块方石砍去四角，就变成八角形的石头，再去掉八个角又变成了十六角形，这样一凿一斧地干下去，12一块方形石料就被加工成一根光滑的圆柱了。刘徽因此得到启发：原来圆与直线是可以相互转化的。他认为一个圆的内接正多边形的边数越多，其周长就会越接近于圆的周长。同时，通过求圆内接正多边形的边长和圆的直径之比，可以越来越精确地求得圆

14、周率（即圆周与直径之比），这就是所谓“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这句话简明扼要地概括了刘徽割圆术的实质。同时，刘徽在这里还用了“极限”这个数学概念，今天我们知道“极限”是高等数学的基础。后来，祖冲之和他的儿子祖恒，利用割圆术，得出了3.14159263.1415927 。没有前人这样艰苦的努力，我们现在就不可能精确地计算出圆的面积和周长，一切与圆有关的计算无疑也要大打折扣了。读了这个故事，你想说点什么？生说感受。看来生活中处处有数学，我们要培养自己热爱数学，善于观察的良好习惯哦。下面我们就一起来动脑筋解决以下下面的问题。四：拓展应用1.填

15、空：（）圆的周长计算公式为（ ），圆的周长计算公式为（ ）。13（）一个圆的半径是 3 厘米，求它的周长，列式（ ），求它的面积，列式（ ）。（）一个圆的周长是分米，这个圆的直径是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。.判断：（）半径是厘米的圆，周长和面积相等（ ）让孩子知道得数虽然相同，但计量单位不同，不能进行比较。（）一个圆形纽扣的半径是厘米，它的面积是多少？列式：XX平方厘米。（ ）。此题在计算的时候把看作，而（）直径相等的两个圆，面积不一定相等。（ ）（）一个圆的半径扩大倍，面积也扩大倍。（ ）（）两个不一样大的圆，大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（ ）3、根据下面的条件,求圆的面积。r=6 厘米 d =0.8 厘米144、实际应用：一块圆形铁板的半径是 3 分米,它的面积是多少平方分米?5、要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多?(1)可测圆的半径,根据 S=r2 求出面积。(2)可测圆的直径,根据 S=(d/2)2 求出面积。(3)可测圆的周长,根据 S=(c/2)2 求出面积。师：经过一节课的学习，你们能计算出喷水头转动一周可以浇灌多大面积的农田了吗？ (学生独立解答，指名回答)实