《复变函数课后部分习题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数课后部分习题解答（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2求下列各式的值。（1）( -i)35解： -i=2cos( -30)+isin(-30)=2cos30- isin30( -i) =2 cos(30 5)-isin(30 5)5=2 (- /2-i/2)5=-16 -16i31.2求下列式子的值（2） （1+i） 6解：令 z=1+i 则 x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r= = =z2yxtan = =1x0,y0Q属于第一象限角=41+i= （cos +isin ）24（1+i） =（ ） （cos +isin ）6646=8（0-i）=-8i1.2求下式的值(3)61因为-1=（cos +sin ）所以=cos( /6)+s
2、in( /6) (k=0,1,2,3,4,5,6). 61k2k2习题一1.2（4）求(1-i) 的值。31解：(1-i) = (cos- +isin- )312431= cos( )+isin( )61)8(k2)8(k(k=0,1,2)1.3求方程 +8=0的所有根。3z解：所求方程的根就是 w=38因为-8=8（cos +isin ）所以 = cos( +2k )/3+isin( +2k )/3 k=0,1,238其中 = = =23r8即=2cos /3+isin /3=1 i1w3=2cos( +2 )/3+isin( +2 )/3=-22 =2cos( +4 )/3+isin( +
3、4 )/3= 1 i3 3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。(1) Im(z)0 解：设 z=x+iy因为 Im(z)0，即，y0而 ),(x所以，不等式所确定的区域 D为：不包括实轴的上半平面。由所确定的区域可知，不存在某一个正数 M，使得确定区域内的每个点 z满足 ，所以该区域是无界的。M在该区域 D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域 D为单连通区域。综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。1
4、.5（2） |+1|4解：该不等式的区域如图所示：圆 + =4的外部（不包括圆周） ，无界的，为开的多连通区域（ 1） 221.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0Re(z)11 5 x y由直线 X=0与 X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4） 32z解： 即 为由圆周32z 9422yx与 所围成的环形闭区域（包括圆周） ，yx22是有界多连通闭区域。如图：已知映射 w=z3， 求（1） 点 z1=i，z 2=
5、1+i，z 3= +i，在 w平面上的像。解：z=r ei ，则 w=z3r3 。于是31 Z1=i=e ,2i2z2=1+i= ( )=2cos4+isin4 24Z3= +i=2（ +i ）=2( )=332 12 cos6+isin62 6经映射后在 w平面上的像分别是W1= =-i,33W2= = （- +i ）=-2+i2，2323422 12 12W3= =8i232第 47页3.5计算下列各题（1） =1010(-zdcosz)=-(zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz )10=cos1-sin1注：因输入法问题。故特设定 z的共轭负数为 z*,除号为/1.7：设
6、 f（z）=1/z 2 (z/z*z*/z) (z0)当 z0 时，极限不存在解法一：首先假设 zr e i则有：(z/z*z*/z)r 2 ( e-2 i - e2 i )/ r2-2isin2可见是随 发生变化而变化的变量所以根据极限必须为常数可知当 z0 时，极限不存在是以此题得证。解法二：首先假设 zx+iy则(z/z*z*/z)(z* 2 z 2 )/x2 y 2 -4ixy/ x 2 y 2所以可见，当 z0 时，即当 x0, y0 时因为有 lim (x0, y0) xy/ x2 y 2 极限不存在所以当 z0 时，f（z）=1/z 2 (z/z*z*/z)的极限不存在是以此题得
7、证。2.1 利用导数定义推出：（1） (z n)、 =nzn-1(n为正整数)；解 0limzzn(= li zzcccnnnnnL21 = (nz +c z +.+c )0limz1n2nn1z=nz 1n2.1(2) ( )=-1 12lim0(1)+(1)=0- 1()=-12(2)f(x)=2x3+3y3i解：u=2x 3 ，v=3y 3 。, , , 26xu0yxv29y上述 4个偏导处处连续，但仅当 2x2=3y2时 C-R方程成立。因而函数只在直线 =0上可导，但是在复平面上不解析。x2y3习题2 2.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？ iyxzf 2解：xvyuyvx
8、uyvxvyuxxuyvxuiyzf100222 在 z 平面上处处连续，且当且仅当2x = 1 时， u,v 才满足C-R 条件，故 f (z) = u + i v = x -i y仅在直线 21x上可导，在z 平面上处处不解析。7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint.解：F( )=+=12+2=1212+(22)=14(+(2)+(+2)=142(2)2(+2)=2(+2)(2)22 以下函数何处可导？何处解析？ f（z）=sinxchy+icosxshy 解： u=sinxchy v=cosxshyxchyuosxchyvosxshyuinxshyvin可得yv
9、xuxvyu并且上述四个一阶偏导数均连续，所以 f(z)在复平面内处处可导，从而在复平面内处处解析。25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数(1) (z-1)5解：由题可知(z-1) 5 处处解析其导数 f(z)=5(z-1)4 25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 （2） iz3解：设 ，f2iyxz则 xxyyx 233, 32令 vu32则 62xyuy 236yxvy又令 xvxyu即 22336xy所以 在复平面内处处解析，即 在复平面内处处解析，其导zf iz23数为 。i23题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（）（） 解：令 得 和所以该函数除
10、和外在复平面上处处解析；该函数的导数为： （）( )25页： 习题二 2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。（4）. (c d中至少有一个不为 0)+解.当 c=0时，函数在复平面处处解析；（ ）的倒数为 ；+ 当 c！=0 时：函数除 z=- 外在复平面处处可导，处处解析；（ ）的倒数为+ （ +） （ +）（ +） 2=（ +） 2第二章 2.4求下列函数的奇点；（1）+1(2+1)解:因为：当 z( )=0;2+1所以 z=0； =-12由 Z= 1计 m=-1=cos+i sinZ= =cos +i sin （n=0,1）+22 +22当 n=0时，z=i；当 n=1时，z=-i
11、；所以本题奇点分别为 0；-i ; i ;2.4 求下列函数的奇点:(2) .)1(2z解:令原函数分母 .,10)1(2izz即:原函数在 处不解析,i故原函数的奇点为 .2.10求 Ln（-i） ，Ln（-3+4i）和他们的主值。解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2k）=i（- +2k）2=i（2k- ） ，k=0，+1，+2，12ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=- 2Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + iarg（-3+4i）+2k=ln5+i（-arctan ）+2k43=ln5-i（arctan -（2k+1） ，k=0，+1，+2，43l
12、n（-3+4i）=ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(-arctan )43习题 2.12= = =21ie2ie)2sin()co()(ie= = = 4)i (4i 4i2i= 2ei1= = = =i33Ln3liArgike23ln3lnsilco2ek= = = =iie1iiArglmi1| *412|1|lkii *412ke2nsilco习题三46页3.1沿下列路线计算积分 ：3+0 2（1）自原点至 3+i 的直线段；解：此直线的参数方程可写成：x=3t，y=t， 0 t 1， 或z=3t+it，0 t 1， z=3t+it， =（3+i ） .于是 =3+0 2 10（ 3+） 32=13（ 3+） 333222 19191 iidzzdccc 3313310iiiy书 46页3.1沿下列路线计算积分 dzi302:(2)自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 .3i解 设 原点到:iyxz,:1c3,xy ;9310302222 111 xdididccc到 到3:2,i0,3,yx dyiiydiidixdzcc 210210222 3.2 试用积分 的值，其中 C为正向圆周： .cdz 2z解：正向圆周 的参数方程为：2 )0(2tezit由公式得： idt
