《考研常见数学小问题集锦(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研常见数学小问题集锦(2)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。考研常见数学小问题集锦（2）微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。被积函数是连续函数 f(x)的积分上限函数 F(x)可导，且导数就是 f(x)。逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升
2、为可导函数。广义函数理论中，在不光滑点(连续不可导点) 微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。当年武汉 X 中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。这里有一个有趣的联想。如果 f(x)仅有第一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢?结论是，“相应的上限函数一定连续
3、。”(画外音：考研题中出现过一次。)在概率统计中，连续型随机变量 X 的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。要注意的是，设 f(x)有跳跃间断点 a，相应的上限函数在点 a 虽然连续，却一定不可导。即改善是有一定限度的。要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限 ”。实际上，设点 a 左側，f(x)=初等函数 (x)，右侧 f(x)=(x) ，(x-0) (x+0) 形成跳跃间断。记 f(x)相应的上限函数为 F(x)，则 F(x)在点 a 连续，但是左側求导 F(x)=(x)，右側求导 F(x)= (x)，(
4、x-0)(x+0)F(x)在点 a 不可导。在点 a 的邻域内，F(x) 不是 f(x)的原函数。相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以算是“擦边球”。概率统计不是第一层次基础课程。学习概率需要你有较好的高等数学基础。比如，计算 D(卡方(1)就是个大综合练习。(潜台词：D( 卡方(n)=2n)预备 1我们知道，exp(x2) 是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为 1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。计算 D(卡方 (1)，最尾端就要用到它。预备 2我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中
5、有一条“x 趋于+时，指数函数 exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”或者说，“x 趋于+时，函数 exp(-x)是任意高阶的无穷小。 ”预备 3分部积分的要点是“变化”甲乙 dx=(甲的一个原函数)( 乙)-(甲的这个原函数 )(乙的导数)dx设 X 服从标准正态分布，我们计算 D(X2)，即证明 D(卡方(1)=2凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。鉴于输入问题，我写出步骤，
6、大家在纸上划一下(1)用平方关系来算 D(X2)，得先算均值 E(X 四次方)设 f(x)是 N(0,1)的密度函数，求 E(X 四次方)，被积函数 x 四次方 f(x)在全直线积分分 x 四次方 f(x)=x3xf(x)，注意 xf(x)的原函数恰是-f(x)分部积分一次，求极限知第一部分答案为 0，(运用预备 2)第二部分是 3x2f(x)在全直线积分再分 x2f(x)=xxf(x),又分部积分，同样求极限知第一部分答案为 0，第二部分已是 3 倍密度函数 f(x)在全直线积分，当然为 3(2)用平方关系来算我常常开玩笑把平方关系 E(X2)=2+2 称为“概率勾股定理”。D(X2)=E(
7、X 四次方)-(E(X2)2=3-1=2怎么样，有点意思吧。如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。一个同学在论坛上发贴，先设“对任意 x，总有 f(x)x”，推出“f(f(x)f(x)”，突然又假设“f(x) 单减 ”，然后就不明白， “为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼
8、?”思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。看一个线性代数问题。(讲座(40)例 15 设 n 维行向量组 a1，a2，- ，ak 线性无关，k向量组 a1，a2 ，-，ak， 线性无关。例 15 是原数学四的考题。它可以深化为，*例“设向量组 1，2，-，r 线性无关，向量组 1，2，-，k 线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。(暂时不写一个条件)证明设有一组数 C1， ，Cr，Cr+1，Cr+k ，使得C11+Crr+Cr+11+C(r+k) k=0用 1 对等式两边作内积，得 11C1+1rCr=0用 2 对等式两边作
9、内积，得 21C1+2rCr=0用 r 对等式两边作内积，得 r 1C1+rrCr=0现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。问题延伸 1，若记 A=(1，2，- ，r)，则系数矩阵恰为 AA(潜台词：矩阵乘法，“ 左行右列作内积”)问题延伸 2，秩 R(A)=秩 R(AA)证明作齐次线性方程组 AX=0 和 AAX=0，AX=0 的解显然都是 AAX=0 的解。如果列向量 是 AAX=0 的解，则内积(A )(A)=AA =(A A)=0这说明 A=0(向量),即 AAX=0 的解也都是 AX=0 的解。两方程组同解。解集秩 n-R(A)=n-R(AA) 故秩 R(A)=秩 R(AA)
10、前述关于 C1，Cr 的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。无关性知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。(画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。)好象什么问题都没有?!?!?! 联想“n+1 个 n 维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”
11、，不一定成立。必须先说“k+rn”这个条件不影响证明。凯程教育：凯程考研成立于 2005 年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为
12、已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程
13、考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下 2015 五道口金融学院状元，考取五道口15 人，清华经管金融硕士 10 人，人大金融硕士 15 个，中财和贸大金融硕士合计 20 人，北师大教育学 7 人，会计硕士保录班考取 30 人，翻译硕士接近 20 人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法
14、硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很凯程考研辅导班，中国最强的考研辅导机构，http:/ 考研就找凯程考研，学生满意，家长放心，社会认可！凯程考研，考研机构，10 年高质量辅导，值得信赖！ 以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作,为学员服务，为学员引路。多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立 10 年（2005 年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
