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1、1应用复分析课程设计基于共形映射法求解挠度2基于共形映射法求解挠度摘要为了克服传统的分析求解挠度的方法-几何方法（面矩法，共轭梁法）和能量法（虚功法，卡氏定理） ，因此我们采用了基于保角映射法求解挠度的方法。此种方法更加精确。首先用解析方法（包括傅里叶展开式、留数定理）求解出保角映射函数，再用此映射函数求得渐开线直齿轮轮齿挠度的解，对影响挠度的因素进行了简要分析。关键词：保角映射函数； 渐开线直齿轮； 轮齿挠度。引言应用平面弹性理论的复变函数保角映射法求解齿轮轮齿挠度，由日本学者首先提出，由试算法得到，计算复杂，映射精度难以保证。后国内学者程乃士等用计算机求得挠度，但求解方法仍属于数值回归法，
2、且求解受到初值影响。本文沿袭盛行的解析法，计算简单映射精度更高。相关词条的物理解释应力当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变称为应变（Strain） 。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力（stress） 。挠度结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。弹性模量 定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。泊松比泊松比是材料横向应变与纵向应变的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。1、 基本公式及其简单推导（1）位移公式求解如下图所示，设 ( ) 为将 Z 平面
3、齿轮边界围成的域 D 映射为 平面的下 半平面域 的映射函数，因为用复变函数方法解平面弹性力学问题的时候，Airy 应力函数的表示为U=ReError! 1(z)+ 1(z)3式中 1(z)和 1(z)是 z(z=x+iy, Error!=x-iy)的两个解析函数因此轮齿位移的复变函数表示为 u+iv= 1(z)- z + （1）3-E1()z1式中 1(z)= ；E 为弹性模量； 为泊松比，对于平面应变问题，式中 E()z用 E/（1- ）代替， 用 /（1- ）代替。2所以，此时问题集中于求应力函数的两个解析函数 和 使其满1()z1足边界条件。下面根据集中力作用点分情况进行讨论 当集中力
4、作用于半平面域的边界上，且作用点为原点时=- lnz， = lnz1()z2XiY1()z2XiYX=Pcos ，Y=Psin 当集中力作用于边界上任意点 Z0 时，由坐标平移的=- ln（z-z 0） ，1()z2XiY= ln（z-z 0）+ *1i2XiY0z 保角映射把持性边界映射 C 映射为虚轴 ，采用下面形式的映射函数Z= = -0m1na其中适当的选择 m0,mj,aj,就能得到精确度很高的齿形。 与 的映射关系= = ( ), = = ( )()1z)1(z因此得=- ln ( )- (r)()2XiY= ln ( )- (r)+ *i2XiY()r因为工程上是没有理论上的集中
5、力的，所以我们需要把 和 分成非解析部分4和 及解析部分 和 两部分0*由文献1，通过求极限我们有设 A 和 B 到 的距离为 rA 和 rB，则 ( )+ (- )+ (- ) + - =0*)*2XiY()()下面的解满足上面方程(2) 0)()(2)(*)()() iYX利用在复分析中的 Cauchy 积分0)(21)(21 )(*1)(*)(21)(* diYXidiYXi ididi当函数 f(z)在扩充复平面上仅有有限个孤立奇点：,121 naa.0)(Re1zfsnjaj用此分析上式的每一项，故01)(2diYXi即di)(21)(*再通过对(2)式取共轭0)()(2)(*)()
6、( iYX对上式取 Cauchy 积分，经过化简得5 1)(2)(21)(* iYXdi将上面的式子代入 (1) 得到位移表达式为(3)()(1)(3Eivu式中 u 为 x 方向的位移，v 为 y 方向的位移（2）为求解保角公式，我们先作如下推导：图中左半平面相交两线为两啮合齿轮的外围轮廓线。6如图 1a 所示，渐开线齿轮齿廓有渐开线和过度曲线两部分组成。设渐开线齿廓上任一点坐标为（X k ,Yk）为= ( ) xkrahkbrcoszx2tan4t tnk= ykkrbcsizxtatn ta式中 齿顶圆半径r基圆半径b齿形角齿数Z变位系数x含义如图 la 所示h7齿廓上任意点处压力角。在
7、渐开线部分。 的取值k k范围为： a1渐开线与过渡曲线的界限点的压力角= 1arctnsinco)1(2Zxh刀具齿顶高系数hao刀具齿顶圆角半径齿根过度曲线部分任一点坐标设为（X k ,Yk） )cos(sinsicos incoinkkkokkka rxyhrx 式中ta)1(4 kaok sin)( kaookxhxrykkk/)ctr分度圆半径 k相应于齿根过渡曲线上计算点的道具齿顶圆角计算点的展开角。的取值范围为 ok90。这里取 ok75。（ ） 、 （ ）为满足边界条件的两个解析函数。由文献2中的分析可知：在力的作用点 附近， 和 应分解为非解析部分 与 以及解析部分：0与 ：
8、*)()(*o（4） )()(*o（5）8)ln(2)(iope（6） ioio ee2)()l()( (7)由 Cauchy 积分公式可知： dwi)(21)(*(8)i)()(*(9)式中 p载荷力作用线与 x 轴夹角 上 任 一 点域 边 界 上 2.保角函数的求解现在我们基于前面的齿廓线坐标和轮齿位移的复变函数表示式来计算保角函数令 = +tg - ,t=tg ;认为渐近线延至 m 点，则 m 点压力角 =in042 ;设新变数 T= ,并令变数 、T 之间的关系如图 1（b）所示。则当 -110 1 0 时，渐开线上计算点为 +i =R- (1+i T)= (0)而当 1- 时0 1
9、+i =R- (1-i T)= (0)9其中 T= = ,为渐开线和过渡曲线的界限点；20(1)为刀具 齿顶高系数； 为刀具齿顶圆角半径系数。0 齿形过渡曲线部分计算点由下式确定=R+ sin - cos +r( sin ) 0 0 cos + = cos + sin +r( cos )0 0 其中 -M - tg ;0=4 0（ 1） +()+ (1- ); = ;r 为分度圆半 0=(0) (0+0)径；M 为齿轮模数； 于齿形过渡曲线上计算点的刀具齿顶圆角计算点为 相 应的展开角（ ） 。过渡曲线部分 t=tg = ;设变数 T=2 ()()+,再设 、T 关系如前所述；取(21) k
10、75。为消除区间端点映射误差并减少傅立叶级数展开项数目，首先在齿形函数中减去 i- ,再于 的-1,1 区间内将此分段函数展开成傅立叶2=1 +级数（1=| |）,则渐开线齿轮齿形函数可表示为 75。- + (=( )= 2=1 += )为 保角映射由文献（3）知 =1+2+3+4+510(10) 代数表达式见文献（3）用 =+i 代替 i，- + (11)=( )=2=1 + 3. 、 的求解)(*)(*由式（2.15）及式（3.7）可得(12)damisjj10*)(21)(在上半平面，被积函数有奇点 ，根据留数定理j(13)()(1*jsjjam同样可得(14)()()(1* sj jj
11、(15)sjjam120)()( 4)()12(4231/ln2)( 02000 ini beqnbbeq (16)(17) 1 2000 )(/21l)()( nie4.挠度的求解：将上述方程代入位移方程有： sincos)(4)12(423121ln)( 00200 ABaAaEknbEwqWn (18) 式中：11210202202020 sin)(cos)()( lmlCaklmlCaknw mm )(4)(2sinco)(4)(i2200 220 awkapBA 综上挠度即为： sincos)(4)12(2311ln)( 00200 ABaAaEknbEwqWn 【1 】程乃士，刘温 . 计算机求解渐开线齿轮齿廓的保教映射函数 . 应用数学和力学，1988；9（11） ；1037-1044【2 】 程乃士，刘温. 用平面弹性理论的复变函数揭发精确确定直尺轮轮齿挠度.应用数学和力学，1985;6（17）：619-632【3 】谭晓兰 许立中 邹东林 保角映射法精确求解渐开线直轮轮齿挠度
