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1、1垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直 ；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1（ 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）等腰（等边）三角形中的中线 1菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 2 31:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。
2、 4 5例：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1AOE（2（ 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）例 1 在正四面体 ABCD 中，求 证 ACBD变式 1 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，已知Po60,2,2,3DAAB证明： ；B变式 2 如图，在边长为 的正方形 ABC中，点 E是 AB的中点，点 F是BC的中点，将 AED,DCF 分别沿 ,F折起，使 ,两点重合于 A.求证: DEF；变式 3 如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，PABCPBEADFG2PCBADEPAC=PBC=90 证明：ABPC类型二：线面垂直证明 方法 利
3、用线面垂直的判断定理 1例 2：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1OE平 面变式 1：在正方体 中，,求证：111ABD平 面变式 2：如图：直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E 为 BB1 的中点，D 点在 AB 上且DE= .3求证：CD平面 A1ABB1；变式 3：如图，在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD求证： 平面 BCD；O变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱 锥 中，PABC， ， 平面 ， ， ，ADBC 90PAD323AB6C求证 ： 平面1
4、利用面面垂直的性质定理 2例 3：在三棱锥 P-ABC 中，, ， 。PABC底 面 PABC面 面 PAC求 证 ： 面方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。DACOBE3变式 1, 在四棱锥 ，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 是等腰三角形，且PABCD,求证：面 底 面 PAB面类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 )例 1 如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形，ECDA， 为 的中点.2ADEBFCD(1) 求证： 平面 ；/E(2) 求证：平面 平面 ；例 2 如图，在四棱锥 中， 底面 ，PABCDABCD， ， 是60ABDC， E的中点P（1）证明
5、； （2）证明 平面 ；AE变式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形，60ABC，E 、 F 分别是棱 CC与 BB上的点，且EC=BC=2FB=2（1）求证：平面 AEF平面 AACC ；ABC DEF CDPE4举一反三1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： bM bM ./ baMb/a/其中正确的命题是 ( )A. B. C. D.2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直
6、于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC的中点.现在沿 DE、DF 及 EF 把ADE 、CDF 和BEF 折起，使 A、B 、 C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四面体 PDEF 中，必有 ( )A.DP平面 PEF B.DM平面 PEF C.PM平面 DEF D.PF平面 DEF4.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直C.过
7、a 一定可以作一个平面与 b 垂直D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行5.如果直线 l,m 与平面 , 满足:l =,l,m 和 m,那么必有 ( )A. 且 lm B. 且 m C.m 且 lm D. 且 6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则P 到 AB 的距离为 ( )A.1 B.2 C. D.52537.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.
8、38.d 是异面直线 a、b 的公垂线，平面 、 满足 a，b，则下面正确的结论是 ( )A. 与 必相交且交线 md 或 m 与 d 重合B. 与 必相交且交线 md 但 m 与 d 不重合C. 与 必相交且交线 m 与 d 一定不平行5D. 与 不一定相交9.设 l、m 为直线， 为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 ml；若 ml ，则 m；若 m，则 ml；若 ml，则 m，其中真命题的序号是 ( )A. B. C. D.10.已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题：若 ，则 lm；若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm，则 .其中正确的命题是 ( )A.与 B.
9、与 C.与 D.与二、思维激活11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面 的同侧，它们在 内的射影分别为 A，B，C ，如果ABC是正三角形，且AA 3cm，BB 5cm，CC4cm，则ABC 的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件 时，有 VCAB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,
10、AH侧面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，BE 是 VC 边上的高.(1)求证:VCAB;(2)若二面角 EABC 的大小为 30,求 VC 与平面 ABC所成角的大小.15.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是AB、 PC 的中点 .(1)求证：MN平面 PAD.(2)求证：MNCD .第 11 题图第 12 题图第 13 题图6(3)若PDA45，求证：MN平面 PCD.16.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BAD60，AB 4，AD 2 ，侧棱 PB ，PD .153(1)求证：BD 平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD
11、成 60的角，试求二面角 PBCA 的大小.17.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB =90,BAC=30,BC=1，AA 1= ，M 是6CC1 的中点，求证：AB 1A 1M 18.如图所示，正方体 ABCDABC D的棱长为 a，M 是 AD 的中点，N 是BD上一点，且 DNNB12，MC 与 BD 交于 P.(1)求证：NP平面 ABCD. (2)求平面 PNC 与平面 CC DD 所成的角.(3)求点 C 到平面 DMB 的距离.第 16 题图第 18 题图7线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由
12、线面垂直的性质定理可知.3.A 折后 DPPE ,DPPF，PEPF.4.D 过 a 上任一点作直线 bb,则 a，b确定的平面与直线 b 平行.5.A 依题意,m 且 m ,则必有 ,又因为 l= 则有 l ,而 m 则 lm,故选 A.6.D 过 P 作 PDAB 于 D，连 CD，则 CDAB，AB= ，52BCA，52ABCDPD= .53412P7.D 由定理及性质知三个命题均正确 .8.A 显然 与 不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ，l，lm11. cm2 设正三角 AB C的边长为 a.3AC 2=a2+1
13、,BC2=a2+1,AB =a2+4，又 AC2+BC2=AB2，a 2=2SA B C = cm23412.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一, 要求思维应灵活.13.VCVA，VCAB . 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB.14.(1)证明:H 为VBC 的垂心,VCBE,又
14、AH平面 VBC,BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知 VCAB,VCBE,8VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 EDAB,又 ABVC,AB面 DEC.ABCD,EDC 为二面角 EABC 的平面角，EDC=30,AB平面 VCD,VC 在底面 ABC 上的射影为 CD.VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VCAB,VCBE,VC面 ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC 与面 ABC 所成角为 60.15.证明：(1)如图所示，取 PD 的中点 E，连结 AE，EN ，则有 ENCDABAM，EN CD ABAM，故 AMNE 为平行四边形.21MNAE.AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD.(2)PA平面 ABCD，PAAB.又 ADAB，AB平面 PAD.ABAE，即 ABMN.又 CDA
