计数模块(教师版)

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1、的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page1 of 24知识框架加法原理加法分类，类类相加乘法原理乘法分步，步步相乘排列 有序排列组合 无序组合容斥原理解决包含排除时，韦恩图是好帮手几何计数枚举、标数、树形图、插板、对应、分类计数、容斥原理等，只要方便随你用计数综合概率 组合排列要想全，发生与否看清晰一、 排列和组合排列数 12.1mnPnmL（ ） （ ） （ ）组合数 )32nmnC（二、 容斥原理ABABCABCUIIII三、 几何计数n 条直线最多将平面分成 个部分；n 个圆最多分平面2123()n的部分数为 n(n-1)+2；n 个三角形将平面最

2、多分成 3n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分计数模块综合复习教师：学生：上课时间：2013 年 月 日 :00- :00上课地点：红荔上步校区上课进度：第 讲课题：计数模块综合复习的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page2 of 24成 4n(n-1)+2 部分 数线段：如果一条线段上有 n+1 个点( 包括两个端点)（或含有 n 个“ 基本线段”），那么这n+1 个点把 这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条数角：数角与数线段相似，线段 图形中的点类似于角图形中的 边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应

3、法），因为 DE 上有 15 条线段，每条线段的两端点与点 A 相连，可构成一个三角形，共有 15 个三角形，同 样一边在 BC 上的三角形也有 15 个，所以图中共有 30 个三角形数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四 边形），若其横边上共有 n 条线 段， 纵边 上共有 m 条 线段， 则图中共有长方形（平行四边形）mn 个例题精讲【例 1】 袋中有 3 个红球，4 个黄球和 5 个白球，小明从中任意拿出 6 个球，他拿出球的情况共有_种可能 （2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）【 按最少的红球来分类：3 红时，黄 白 3，黄可取 0，1，2，3 共

4、 4 种2 红时，黄 白 4，黄可取 0，1，2，3，4 共 5 种1 红时， 黄 白 5，黄可取 0，1，2，3，4 共 5 种0 红时， 黄 白 6，黄可取 0，1，2，3 共 4 种共有：4+5+5+ 4=18（种）【 一把硬币全是 2 分和 5 分的，这把硬币一共有 1 元，问这里可能有多少种不同的情况？【 按 5 分硬币的个数对硬币情况进行分类：如果 5 分硬币有奇数个，那么无 论 2 分硬币有多少个都不能凑成 100 分如表当 5分硬币的个数为 020 的偶数时，都有 对应个数的 2 分硬 币所以一共有 11 种不同的情况类别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 分

5、0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202 分 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0【例 2】 如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走） ，一共有多少种不同的走法？北北 京 北北 京 欢 京 北欢 迎 欢你 13271的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page3 of 24【 沿着“北京欢迎你” 的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能 选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用 标号法可得右上图所以一共有 种走法1【 如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这 9 个字，要求你选择的 9 个

6、字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法我 们 学 习 好们 学 习 好 玩学 习 好 玩 的习 好 玩 的 数好 玩 的 数 学【 第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用 标号法来解：(在格子里标 数)共 70 种不同的读法【例 3】 一楼梯共 10 级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第 10 级，共有多少种不同走法？【 登 1 级 2 级 3 级 4 级 . 10 级1 种方法 2 种 3 种 5 种 . ？我们观察每级的种数，发现这 么一个规律：从第三个数开始

7、，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第 10 级的种数是 89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做 A0，那么登了 1级的位置是在 A1，2 级在 A2. A10级就在 A10到 A3 的前一步有两个位置；分 别是 A2 和 A1 在这里要强调一点，那么 A2 到 A3 既然是一步到了，那么 A2 、A3 之间就是一种选择了；同理 A1 到 A3 也是一种选择了同时我们假设到 n 级的 选择数就是 An 那么从 A0 到 A3 就可以分成两类了：第一类：A0 - A1 - A3 ，那么就可以分成两步有 A11 种，也就是 A1 种；(A1 - A3 是一种

8、选择)第二类：A0 - A2 - A3， 同样道理 有 A2 类类相加原理：A3 = A1 A 2，依次 类推 An = An-1 + An-2【巩固】 12 的小长方形(横的竖的都行)覆盖 210 的方格网，共有多少种不同的盖法【 如果用 的长方形盖 的长方形， 设种数为 ,则 ， ,对于 ，左nna12a3n351511 113451014610151512013570321的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page4 of 24边可能竖放 1 个 的，也可能横放 2 个 的，前者有 种，后者有 种，所21-1na-2na以 ,所以根据递推，覆盖 的长

9、方形一共有 89 种-1-2nna0【例 4】 如图，地图上有 A，B ，C，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法? DCBA【 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我 们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给 染色，有 种颜色可 选A5第二步：给 染色，由于 不能与 同色，所以 有 种颜 色可选BAB4第三步：给 染色，由于 不能与 、 同色，所以 有 种颜色可选CC3第四步：给 染色，由于 不能与 、 同色，但可以与 同色，所以 有 种颜DAD3色可选根据分步计数的乘法原理，用 种颜色给地图染色共有 种不同的554180染色方法【 如图，一张

10、地图上有五个国家 ， ， ， ， ，现在要求用四种不同的颜色ABCDE区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ EDCBA【 第一步， 给 国上色，可以任选颜色，有四种选择；A第二步，给 国上色， 国不能使用 国的颜色，有三种选择；BA第三步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，所以不能使用 ， 国的颜色，只有CBAB两种选择； 第四步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，因此也只有两种选择；DC第五步，给 国上色， 国与 ， 两国相邻，有两种选择ED 共有 种着色方法43296【例 5】 右图中共有 16 个方格，要把 A，B ，C

11、，D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？ 【 由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子 ， 可以放在 16 个方格中的任意一个中，故有 16 种不同的放法；第二步放A棋子 ，由于 已放定，那么放 的那一行和一列中的其他方格内也不能放 ，故BAB的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page5 of 24还剩下 9 个方格可以放 ， 有 9 种放法；第三步放 ，再去掉 所在的行和列的BCB方格，还剩下四个方格可以放 ， 有 4 种放法；最后一步放 ，再去掉 所在的CDC行和列的方格，

12、只剩下一个方格可以放 ， 有 1 种放法由乘法原理，共有D种不同的放法164576【 在下图的方格内放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少种放法？ 【 要放五枚棋子，肯定需要分五步完成 观察到图中的表格正好是五列的，刚好在每列放一个棋子于是，我们不妨按第 列、第 列、第 列、第 列、第 列的顺序依12345次摆放棋子第一步：在第 1 列填入一个棋子因 为第 1 列只有两个格，所以有 2 种放法第二步：在第 2 列填入一个棋子因 为第 2 列共有三个格，可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行，所以有 3-1=2 种放法第三步：在第 列填入一个棋子因 为第 列共有四个格，可是被

13、放在第一列、第二3列的那两个棋子各占了一行，所以有 4-2=2 种放法第四步：在第 列填入一个棋子同理推得有 5-3=2 种放法4第五步：在第 列填入一个棋子同理推得有 5-4=1 种放法5根据乘法原理，往方格内放入 枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有5种放法216【例 6】 在图中( 单位：厘米) ：一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?374218125【 一共有 (个)长方形；(4321)(43210所求的和是的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page6 of 24 5128(512)(8)(1528)(1)(5128)4734734734

14、73(平方厘米)6【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、7 厘米、9 厘米、2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和【 利用长方形的计数公式：横边上共有 n 条线段， 纵边上共有 m 条线段， 则图中共有长方形（平行四边形）mn 个，所以有(4+ 3+2+1)（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+ 7+9+2+12+16+11+21+18+23）（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=12486=10664【例 7】 图中含有“”的长方形总共有_个【 根据本题特点

15、，可采用分 类的方法计数按长方形的宽分类，数出含号的长方形的个数含有左上号的长方形有： 个，618其中，宽为 1(即高度为一层) 的含号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：6 个；宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：6 个；含有右上号的长方形有： 个，24其中，宽为 1(即高度为一层) 的含号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为： 个；62宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：6 个；同时含有两个号的重复计算了， 应减去，同 时含有两个 号的长方形有：个，48其中，宽为 2(即高度为两层) 的含号的长方形为：4 个；宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：4 个；所以，含有号的长 方形总共有： 个18234【巩固】由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 长方形中有一格有“”图中含有“ ”的5所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是