微分方程及其应用

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1、第九章 微分方程及其应用9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。例如，以下各式都是微分方程： . 2xdy ).(2tfkxdthtxm . .)()(QP 0sin2lgttd .0,)(nyxFL只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。例如，、为一阶方程，、为二阶方程，而为 n 阶方程。微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程

2、。微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。如果 P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。例如 显然是的解，因为 。31xy23)1(xd若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如就是的通解。31xy从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。例如 就是的一个特31xy解。用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般

3、为初始条件。例如，如果的初始条件为 ，则在代入到通解 后，可以求得 ，从而得到特解 。0y cxy31c31xy一般的，因为 阶微分方程的通解中含有 个独立的任意常数。需要有 个（一组）定解条件，所以 阶nnnn方程的初始条件为： 10120100 , nyxyxL其中 为 个给定常数。1210,nyyL微分方程的解所对应的几何图形叫做微分方程的积分曲线。通解的几何图形是一族积分曲线，特解所对应的几何图形是一族积分曲线中的某一条。例如，方程的积分曲线族如图 9所示。其中 就是满足初始条件 的特解。31xy0y9.2 微分方程的经典案例例 1 自由落体运动的规律自由落体运动是指物体在仅受到地球引

4、力的作用下，初速度为零的运动。根据经典力学的牛顿第二定律：物体动量变化的大小与它所受到的外力成正比，其方向与外力的方向一致。当物体的运动速度 的绝对值不大（与vr光速=3 km/s 相比较）时，其质量 可以是一恒量。于是这一运动定律能表达成50m或 （1）,Fvmdtrdtvr其中 表示物体所受外力的合力。对于仅受到地球引力作用的自由落体的运动，则有：这里 表示重力加速度，其大小一般取为： ；dtSvgFrr,g 2/8.9smg表示自由落体运动的路程，其大小以 表示之。SS注意到 的方向与 的方向一致，将 代入式后得到自由落体运动立rgr dtvgmFrr,场大小变化的规律： 或 （2）dt

5、S2tS2运动规律式表示一个微分方程问题。等式（2）的左端是路程大小 的二次微商它的S右端是常数 。这里 和 之间不是普通的函数关系，而是二微商的关系。gS例 2 单摆运动单摆又称为钟摆或数学摆。所谓单摆运动是指一质量为 0 的小球，用长度为 的柔ml软细绳拴住，细绳的一端固定在某点 O 处。小球在铅垂平面内运动，略去空气的阻力和细绳在 O 点处的摩擦力。并且认为细绳的长度 不变，仅考虑地球的引力和细绳对小球的拉l力（见图 92） 。在铅垂平面内引进以 O 为坐标原点的极坐标系统，由于细绳长度不变且细绳总是直的，所以小球的位置用一个坐标 就能表示。这里 表示细绳 和铅垂方向之间的夹角。铅tl垂

6、方向即是小球的平衡方向，它对应的 为零。作用在小球上的地球引力的大小 为 ，其方向铅垂向下。重力沿细绳方向的分力的大fmg小为 ，其方向沿细绳指向外。这个力与小球运动所需要的向心力刚好平衡。所cosmg以小球沿细绳方向没有运动。重力在垂直于细绳方向的分力的大小为 ，它的方向sinmg与角 增加的方向相反。根据牛顿第二定律得到单摆运动的规律为： （3）sinmgvdt根据圆周运动规律有： l于是从式（3）得出： （4）sin2gdtl关系式（4）是包含 及其二接微商的方程，并且 不是线性而是非线性地出现在方程中（以 这种非线性形式） 。从方程（4）来求出 随着时间变化规律的分析表达式是sin困难

7、的。当 比较小时，对微分方程（4）能够进行线性化出处理，即用 代替 ，或者| sin说，用 来近似 。这样得到式（4）的线性化微分方程：sigdtl2 5在相同初始条件下服从微分方程 求得的 随时间 变化的规律 是单摆运动的5tt近似规律。通常将式 写成如下的规范形式： 5（5）02kdt其中 。lgk2例 3 真空中的抛射体运动在真空中运动的抛射体，它的运动规律十分复杂。这里仅考虑在真空中抛射体的运动规律。即忽略抛射体所受的空气阻力，而仅考虑质量为 的抛射体受地球引力作用而引起m的运动。取一直角坐标系 ， 轴沿水平方向； 轴垂直于 轴； 轴垂直于OxyzOyxOz平面，并与 轴、 轴一起组成

8、右手坐标系。xy依牛顿第二定律，抛射体的运动规律为： （6）0022dtymgzdtx抛射体的初始状态取为： sin|,0|,cos| ;00vdtztyvdtxz其中 是抛射体的初始速度，位于 平面内， 表示 的大小； 表示 与水平方0vxO00v向（即 轴）之间的夹角（见图 9-4） 。Ox例 4 深水炸弹的水下运动一质量为 的深水炸弹，从高为 处自由下落到海中。这里不考虑深水炸弹在水mmh平方向的运动，而仅考虑它在铅直方向的运动。由经典力学知：物体由高为 处自由mh下落至海平面时，其铅垂方向的速度 为：0vgh2这里 为重力加速度。g按如下方式取定坐标系：坐标原点 取在海平面上某处， 轴

9、沿铅垂向下， （见图OOx9-5） 。深水炸弹 自高度为 处自由下落至海平面的时间为 。于是深水炸弹的初始状mh0t态为： ,0txghvtd2|0深水炸弹在海中运动时，我们不考虑海水对它的浮力，这时炸弹受到两个力的作用，：一是地球引力 ，其方向铅垂向下；另一个是海水对炸弹的摩擦力。这个摩擦力是很g复杂的，它和炸弹的形状、速度等因素有关，这里近似的认为摩擦力的大小和炸弹的速度成正比，比例系数即摩擦系数 为常数。摩擦力的方向与炸弹的速度方向相反，因而是vu铅垂向上的。于是摩擦力 能表示为： f dtxuvf根据牛顿第二定律知深水炸弹在水下运动的规律为： mgv或 （7）gdtxmut2例 5 放

10、射性元素的衰变放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 成M正比。已知 时铀的含量为 ，求在衰变过程中铀含量 随时间 变化的规律。0t0Mtt解 铀的衰变速度就是 对时间 的导数 ，由于铀的衰变速度与其含量成正ttdt比，故得微分方程 dt其中 是常数，叫做衰变系数。 前置符号是由于当 增加时 单调减少，0 tM即 的缘故。0dtM按题意，初始条件为 0|Mt例 6 指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（Malthus ，1766-1834）根据百余年的人口统计资料，于

11、1798年提出了著名的人口指数增长模型。这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。记时刻 的人口为 ，当考察一个国家或一个很大地区的人口时， 是很大的整ttx tx数。为了利用微积分这一数学工具，将 视为连续、可微函数。记初始时刻 的人tx 0口为 ，人口增长率为 r，r 是单位时间内 的增量与 的比例系数。于是， 满0x txtx足如下的微分方程： rtexdt0表明人口将按指数规律无限增长 。0r例 7 阻滞增长模型（Logistic 模型）例 6 中的指数增长模型在 19 世纪前比较符合人口增长情况，但从 19 世纪以后，就与人口事实上的

12、增长情况产生了较大的差异。产生上述现象的主要原因是，随着人口的增加，自然资源，环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。如果当人口较少时（相对于资源而言）人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少。为了使人口预报特别是长期预报更好的符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。将增长率 r 表示为人口 的函数 ，按照前面的分析， 应该是 x 的减函数。txxrr一个最简单的假定是设 为 x 的线性函数， （ ）sxr0,这里 r 相当于 时的增长率，称固有增长率。它与指数模型中的增长率 r 不同（虽然用了相同的符号） 。显然对于任意的 ，增长率 ，为了确定系数 s 的意义，0xrx引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量