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1、新昌中学 2013学年第一学期期中测试高三数学（理）试题 V台 体= 12()3hS V柱 体 =Sh 锥 体 =13Sh S球 =4R 2 V球 体 = 43R 3一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）1、在复平面内，复数 2(3)i对应的点位于 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限2、设函数 0,)(xxf，若 ,2)1(fa则 a （ ）A、 3 B、 C、 1 D、 3、已知 sin(2)a，则 sin(2)（ ）A、 1 B、 C、 2a D、 a4、已知等差数列 n的前 项和为 nS，若,2092OCBOA且 A,B,C三点共线（该直线不
2、过点 O） ，则 10=（ ）A、 1 B、 8 C、 105 D、 10 5、已知某程序框图如图所示，则该程序运行后，输出的结果为 （ ）A、06 B、08 C、05 D、026、设 ,为平面， nml,为直线，则 的一个充分不必要条件为 （ ）A、 ,lI B、 ,mIC、 D、 n7、若从 1，2，3，9 这 9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 （ ）A、60 种 B、63 种 C、66 种 D、65 种8、过双曲线 )0(1522ayax右焦点 F作一条直线，当直线斜率为 2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3时，直线与双曲线右支有两个不同
3、交24234224正视图俯视图侧视图点，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A、 )5,2( B、 (5,10) C、 )2,1( D、 (5,2)9、已知正方体 DAC的棱长为 1， NM是对角线 1AC上的两点，动点 P在正方体表面上且满足 |PNM，则动点 的轨迹长度的最大值为 （ ）A、3 B、 23 C、 3 D、610、设函数 ()fx满足：对任意实数 ,ab都有 ()fba，且 (0)f。则 0f（ ）A、1 B、 1 C、0 D、10二、填空题（本大题共 7小题，每小题 4分，共 28分）11、若 103()x展开式中的常数项是 12、若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示
4、，则此几何体的体积是13、数列 na满足 nna21,1，则 5= 14、在 Rt ABC中， 90， ACB，点 P是 AB上的一个三等分点，则 Purru 15、函数 1)(223xabxf 在 处有极值 10，则 a的值为 16、若满足021ykx的点 P(x, y)构成三角形区域，则实数 k的范围是 17、已知三棱锥 S-ABC的底面是正三角形，点 A在侧面 SBC上的射影 H为 SBC的垂心。若 SA=a，则此三棱锥体积的最大值是_ _三、解答题（本大题共 5小题，共 72分）18、已知 231sin2co3csin3 xxxxf （其中 0）的最小正周期为 . AB CQP DDP
5、QCBA（）求 xf的单调递增区间；（）在 ABC中, cba,分别是角 CBA,的对边,已知 ,1,2,1Afba求角 C。19、已知数列 n的前 项和为 nS，且 2nnaS对一切正整数 n都成立。（）求 1， 2的值；（）设 0a，数列 1lgn的前 项和为 nT，当 为何值时， nT最大？并求出 nT的最大值。20、如图，已知三角形 ABC与 D所在平面互相垂直，且 09BACD，ABC， ，点 P,Q分别在线段 ,BC上，沿直线 PQ将 向上翻折，使 D与 重合（）求证： ； （）求直线 与平面 所成的角. 21、已知椭圆2:1xyCab(0)的离心率为 2，以原点为圆心，椭圆的短半
6、轴长为半径的圆与直线 相切（1）求椭圆 的方程；（2）若过点 M(2，0)的直线与椭圆 C相交于两点 ,AB，设 P为椭圆上一点，且满足OPtBA（ 为坐标原点） ，当 253时，求实数 t取值范围22、设函数 xabxfln)(2（）若 x=2是函数 f的极值点，1 和 0是函数 ()fx的两个不同零点，且0(,1)n,N，求 n。（）若对任意 1,2b, 都存在 ),1(ex(e 为自然对数的底数)，使得 0)(xf成立，求实数 a的取值范围。参考答案：一、选择题：BDACA DCBBC 二、填空题11、210 12、 213 13、 19 14、415、4 16、 k 17、36a三、解
7、答题18、解：（） 3sin1cos2212fxx6co3sin21ix2,0,1TTQ 32sinf故递增区间为 Zkk5,1 7分（） 1iAf 032sinA5233Q上0 即 6或 32A又 ,Bba故 2舍去， 6. 由 Asini得 ,i4B或 3,若 4,则 127C. 若 ,则 12C. 14分注意：没有说明 533AQ扣两分19、解：（）取 n=1,得 ,a2121as 取 n=2,得 ,212a 又-，得 )( （1）若 a2=0, 由知 a1=0, （2）若 a2 02， 易 知 , 由得： ;,1;2,12a6分（）当 a10时,由（I）知， ;,21a当 nnsn22
8、）时 ， 有 （ , (2+ )an-1=S2+Sn-1所以，a n= )(1 所以 11)()(nna令 110lg2)lg(,0lgnnnbb则所以，数列b n是以 l2为公差，且单调递减的等差数列.则 b 1b2b3b7= 01g8当 n8 时，b nb 8= 2ll所以，n=7 时，T n取得最大值，且 Tn的最大值为T7= lg1721）（14分20、解： 21、解： （1）由题意知 2cea， 所以221cabe即 2ab 又因为 21b，所以 ， 1b故椭圆 C的方程为 yx5分（2）由题意知直线 AB的斜率存在.设直线 ： ()ykx， 1(,)y， 2(,)Bx， (,)Py
9、，由 2(),1.x得 2280k.4226()0k， 21. 1228x， 1228kxg. 7分 AB 53， 53， 221120()49kxxg4222680()1)19kk， 43， k10分 OPtBA， 12(,)(,xytxy，2128()xtk，12 241)ykkt t.点 P在椭圆上，22(8)(4)11kktt， 2216()ktk 12分 22268， 因为 ，所以 843t， 3t或 t. 15分22解：（） ()2afxb， 2x是函数 ()fx的极值点， (2)40afb.1 是函数 ()f的零点，得 10fb，由 ,1解得 6,1b. 2分 2()lnfxx,
10、 ()2fx，令 66(3)210f ， (,)x，得 2x； 令()0x得 2x，所以 f在 (,)上单调递减；在 2,上单调递增. 4 分故函数 x至多有两个零点，其中 1(0,)(2,)x，因为 210ff， 36lnf246lnl4ef，所以 03,4x，故 3n 7分（）令 2()ngbxa， 2,1b，则 ()gb为关于 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意 ,1，都存在 (,)xe，使得 0fx成立，则2max()(1)ln0gbxa在 ,上有解，令 lh，只需存在 0(1,)xe使得 0()hx即可，由于 ()x=221x，令 ,()ae， (410x， ()x在(1， e)
11、上单调递增， )a， 10 分当 10a ，即 1 时， ()0x，即 ()0hx， ()在(1， e)上单调递增，()hx，不符合题意.当 10a，即 1时， ()0a， 2()ea若 2e，则 0e，所以在(1， e)上 0x恒成立，即 ()0hx恒成立，()hx在 (1， e)上单调递减,存在 0(1,，使得 0()1hx，符合题意.若 2ea，则 e，在(1， e)上一定存在实数 m，使得 ()0，在(1， m)上 (0x恒成立，即 ()0hx恒成立， ()hx在(1， m)上单调递减,存在01,x，使得 0)1h，符合题意.综上所述，当 a时，对任意 2,1b，都存在 (1,)xe，使得 ()0fx成立. 15分
