《高考数学查缺补漏集中营 常用数学方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学查缺补漏集中营 常用数学方法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2014 高考数学查缺补漏集中营：常用数学的方法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例
2、 1已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A) 32(B) 14(C)5 (D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为22zyx,因此需将对称式22zyx写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故 )(2)(xzyzyx=62-11=25 522zyx,应选 C.例 2设 F1 和 F2 为双曲线142yx的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足F1PF2=90,则 F1PF2 的面积是(
3、). (A)1 (B) 25(C)2 (D) 5分析及解：欲求|122PFSFP(1),而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90,得 0|21(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即 16| 2122121 PFPFPF,故4)6|(| 22121 1|212PFSFP, 选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 25,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线
4、方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12bay,e,a=2b,因此所求双曲线方程可写成：224axy(1),故只需求出 a 可求解.设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|=22)5(yx(2),点 Q(x,y)在双曲线上,(x,y)满足(1)式,代入(2)得|PQ|=24(3),此时|PQ|2 表示为变量 y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有5)4(| 222ayPQ(ya 或 y-a).二次曲线的对称轴为 y=4,而函数的定义域 ya 或 y-a,因此,需对 a4 与 a4 分类讨论.(1)当 a4 时,如图(1)可知函数在 y=4 处取得最小值,令452
5、a,得 a2=4所求双曲线方程为12xy.(2)当 a4 时,如图(2)可知函数在 y=a 处取得最小值,令45)4(22a,得 a2=49,所求双曲线方程为192xy.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数 a 有关,因此需对字母 a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例 4设 f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 124)(1xf,试求 f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数 y=f(x)=ax+b (a0
6、),可知 )(1)bxaf,124)(1)(1)( 21 xbaxbxaf.比较系数可知： )2(1)(042ba且解此方程组,得 1,b=2,所求 f(x)=x.例 5如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 92y(x0,y0)上移动,且 AB,BC两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的坐标.分析及解：设 A(x,y),如图所示,则 BCDS(4-x)(4-y) (1)此时 S 表示为变量 x,y 的函数,如何将 S 表示为一个变量 x(或 y)的函数呢？有的同学想到由已知得 x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出 x(
7、或 y),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到 S=16-4(x+y)+xy (2)这时我们可联想到 x2+y2 与 x+y、xy 间的关系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需设 t=x+y,则 xy= 29t,代入(2)式得 S=16-4t+ 27)4(129tt(3)S 表示为变量 t 的二次函数,00 且方程 1x化为 t2-2t+a=0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令 f(t)=t2-2t+a,则 =0 或 0)(f即 a=1 或 a0,从而 B=(-,01.(2)当 a=1 时, 130 恒成立,故 xg104)(4.综上讨论,x 的取值范围是( 13,4).
