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1、2013-2014 学年度第一学期期末联考高三数学试题（理科）（试卷满分 150 分 ）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题。每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 ， ，则 A B( )2|xA2|xyBA2，2 B0，2 C(0，2 D0，)2函数 f(x) 的定义域是( )2 xlgxA(0，2) B(0，1)(1，2) C(0，2 D(0，1)(1，23已知数阵 中，每行的 3 个数依次成等差数列，每列的 3 个数也依次成等差数列，若32311a，则这 9 个数的和为( )82aA16 B32 C36 D724一个空
2、间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B C.40 D.80035已知 展开式中常数项为 5670，其中 是常数，则展开8ax a 式中各项系数的和是( )A2 8 B4 8 C2 8或 48 D1 或 286.由曲线 ，直线 及 轴所围成的封闭图形的面积yyx 为( )A. B4 C. D.61031637.某市高三数学抽样考试中，对 90 分以上(含 90 分) 的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130140 分数段的人数为 90，90100 分数段的人数为 a， 则下图所示程序框图的运算结果为(注： n！123 n， 如5！12345)( ) A800! B81
3、0! C811! D812!开始 n=1 s=1 n an=n+1 s=sn是 否输出 s 结束8.下列命题正确的个数是（ ）已知复数 ， 在复平面内对应的点位于第四象限；1zi、z若 是实数，则“ ”的充要条件是“ ”；,xy2xyxy、命题 P：“ ”的否定 P：“ ”；00,-R01,2xRA3 B2 C1 D09.已知集合 (,)|()Mxyfx，若对于任意 1(,)xyM，存在 2(,)yM，使得4144120xy成立，则称集合 M是“理想集合” ，则下列集合是“理想集合”的是（ ）A 1(,)|Mxyx B (,)|cosMxyx C 2|D 2|lg(1) 10.如图所示，设点
4、A 是单位圆上的一定点，动点 P 从点 A 出发在圆上按逆 时针方向旋转一周，点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 ，原点 O 到弦 AP 的长为 d，则l 函数d f( )的图像大致是 ( )l第卷（共 100 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。11若点 1,A在直线 上，其中 ,0mn则 的最小值为 .02nymx112如图，设 E， F 分别是 Rt ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点，已知AB3， AC6，则 .AE AF 13等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y216 x 的准线交于 A， B 两点，| AB|4 ，则 C
5、 的实轴长为 .314设函数 在其图像上任意一点 处的切线方程为 ，且()yfx0(,)y02063x,则不等式 的解集为 ()0f 1f15选作题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按第一题评阅计分。本题共 5 分。A:（坐标系与参数方程）已知圆 C 的极坐标方程为 ，则圆心 C 的一个极坐2cos3in标为 .B:（不等式选讲）不等式 的解集是 .1x三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12 分）已知函数 2 2()cos3incosifxx（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；f（2）在 中，A、B、C 分别为
6、三边 所对的角，若 ，求 的最大abc、 3,(A)1afbc值.17.（本小题满分 12 分）甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜).若每一局比赛甲获胜的概率为 ,23乙获胜的概率为 ,现已赛完两局,乙暂时以 20 领先.13(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量 X，求随机变量 X 的概率分布和数学期望 EX.18.（本小题满分 12 分）在直三棱柱中, AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点.(1)求证: B1C平面 A1BD；(2)求平面 A1DB 与平面 DBB1夹角的余弦值.19.（本小题满分 12 分）已知
7、数列 满足： ，且 。na12,a2(cos)13,nnaN（1）求通项公式 ；n（2）求数列的前 n 项的和 nS20.（本小题满分13分）已知椭圆C： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，点G在椭圆C上，且21(0)xyab1212,F， 的面积为3.021GF12（1）求椭圆C的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为A，B，过 的直线 与椭圆交于不同的两点 M，N（不同于点A，B） ，探索2Fl直线AM，BN的交点能否在一条垂直于 轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说x明理由。21 （本小题满分 14 分）已知函数 ， xkfln)(R(1)若 ，求函数 的单调区间；1k)(f
8、(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；exf2)( k(3)设 ，若对任意的两个实数 满足 ，总存在 ，使得kfg21,x210x0成立，证明： )(021x0x2013-2014 学年度第一学期期末联考高三数学（理科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D D A C C B C B D二、填空题11、 12、10 13、 4 14、 23 ,310,15、A: B: ,21三、解答题16.解：（1） 2()cos3incosi3sinco2fxxxx，3 分2sin6所以函数的最小正周期为 .4 分2T由 得()2kxkZ()36kxkZ所以函数的单调
9、递增区间为 .6 分,()36（2）由 可得 ，又 ，所以 。8 分(A)1f2sin()1A0A3由余弦定理可得 ，即 又 ，coab223()bcbc2()bc所以 ，故 ，当且仅当 ，即2223()()()bc2,3时等号成立因此 的最大值为 。12 分317. (1)设甲获胜为事件 A,则甲获胜包括甲以 42 获胜和甲以 43 获胜两种情况.设甲以 42 获胜为事件 A1,则 2 分4126()38P设甲以 43 获胜为事件 A2,则 5 分3244C()2P(A)= . 6 分16)()813(2)随机变量 X 可能的取值为 4,5,6,7,= .42()39.124(5C7.232
10、8X6)()()31P.1342(X7)C()81PX 的概率分布为：X 4 5 6 7P 9 427 281 328112 分183456271E18.解:(1)连接 AB1交 A1B 与点 E,连接 DE,则 B1CDE ，则 B1C 平面 A1BD4 分(2)取 A1C1中点 F,D 为 AC 中点,则 DF平面 ABC,又 AB=BC, BD AC, DF、 DC、 DB 两两垂直,建立如图所示空间直线坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0), B(0, ,0),A1(-1,0,3) 2设平面 A1BD 的一个法向量为 ,()mxyzur1(,23),(,03Burr102mxzDgr
11、取 ，则 ， 8 分x,y,1ur、设平面 A1DB 与平面 DBB1夹角的夹角为 ，平面 DBB1的一个法向量 为，10 分(,0)nur则 |30cos|nmurg平面 A1DB 与平面 DBB1夹角的余弦值为 。12 分31019. 解：（1）当 是奇数时， ，所以 ，所以 是cosn2na13521,naL首项为 ，公差为 2 的等差数列，因此 。2 分a21当 为偶数时， ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 3ncosnna46,nL2的等比数列，因此 。4 分123综上 6 分1,nna、（2）由（1）得 8 分22321242()()31nnSaaLL10 分1n所以 12 分2
12、123,4()n、20.解：（1）设 ，由于 ，所以 ，12(,0)(,Fc12cea,3cb根据 ，得 ，即 ，120GFurg2214FGc2211(FG)4Fcg因为 的面积为， ，所以 ，6g所以有 ，解得 ，所以 ，2264cc,3ab所以椭圆才的方程为 。5分13xy（）由（）知 。(2,0)(,AB当直线 的斜率不存在时，直线 ： ，直线 与椭圆的交点坐标 ， ，此时l l1xl 3(1,)2M(,)N直线 ，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标（，） 。13:y(2),BN:y(2)AMx它在垂直于 轴的直线 上。7分4当直线 的斜率存在时，l设直线 ，代入椭圆的方程 ，整理得
13、 ，:(1)lykx2143xy22(34)84(3)0kxk设直线 与椭圆的交点 ，则 。l 12(,)(,)MyN212128(),直线AM的方程为 ，即 ，1()yx1()kx直线BN的方程为 ，即2()21()yx由直线AM与直线BN的方程消去 ，得1221212(3)3()44xx222 28() 644433kkkxx所以直线AM与直线BN的交点在直线 上。12分综上所述，直线AM，BN的交点必在一条垂直于 轴的定直线上，这条直线的方程是 。4x13分21 解(1)当 时，函数 ，1k)0(1ln)(xxf则 )(xf2当 时， ，当 时， 1，0x)(xf则函数 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1， 4 分)(f )(2) 恒成立，即 恒成立，整理得
