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1、花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830个性化教学方案一 线段的垂直平分线1 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表。这一思想方法应让学生理解。1）符号语言 P 在线段 AB 的垂直平分线 CD 上 PA = PB2）定理解释：P 为 CD 上的任意一点，只要 P 在 CD 上，总有 PA = PB。来源:学。科。网3）此定理应用于证明两条线段相等来源:学科网 ZXXK已知：如图，直线 MNAB，垂足是 C，且 AC=BC，P 是 MN 上的任意一点。求证：PA=PB。证明： MNAB，PC
2、A=PCB=90教师姓名 学生姓名 张凌峰 填写时间 2011-10-学科 数学 年级 初 三 教材版本 新课标阶段 第（）周 观察期： 维护期： 上课时间 2011-10-课题名称 线段垂直平分线与角的平分线 课时计划 第（ ）次课共（ ）次课教学目标1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。能够利用尺规作已知角的平分线。教学重点难 点线段垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。角平分线的性质定理、判定定理及相关结论综合题目的证明CB
3、A DP花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830AC=BC，PC=PCPCAPCB（SAS ）PA=PB（全等三角形的对应边相等）想一想，你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是请证明：巩固练习1）如图，已知直线 AD 是线段 AB 的垂直平分线，则 AB = 。2）如图，AD 是线段 BC 的垂直平分线，AB = 5 ，BD = 4，则 AC = ，CD = ，AD = 。3）如图，在ABC 中， AB = AC， ABED，AED = 50，4）则B 的度数为 。2 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（利用等腰三角形三线合一）做
4、一做用尺规作线段的垂直平分线已知：线段 AB 求作：线段 AB 的垂直平分线。作法：1、分别以点 A 和 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和 D，122、作直线 CD。直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。请你说明 CD 为什么是 AB 的垂直平分线，并与同伴进行交流。因为直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点，EDAB CAB 花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830所以我们也用这种方法作线段的中点。1）我们说“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等” ，那么，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上有
5、什么性质？引导学生自主发现线段垂直平分线的判定。到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2）符号语言 PA = PB P 在线段 AB 的垂直平分线上3）定理解释只要有 PA = PB，则 P 为 CD 上的任意一点4）此定理应用于证明一点在某条线段的垂直平分线上 巩固练习1）已知点 A 和线段 BC，且 AB = AC，则点 A 在 。2）如果平面内的点 C、D、E 到线段 AB 的两端点的距离相等，则 C、D、E 均在线段 AB 的 。设 l是线段 AB 的垂直平分线，且 CA = CB，则点 C 一定 。剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分
6、线，你发现了什么？当利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的结论？3 定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。证明：在ABC 中，设 AB、BC 的垂直平分线相交于点 P，连接 AP、BP、CP ，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）同理：PB=PCPA=PC点 P 在 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 。AB，BC ，AC 的垂直平分线相交于点 P。CBA DPAB 花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830议一议：
7、1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等）2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等） 。做一做：已知底边上的高，求作等腰三角形。已知：线段 a、b求作：ABC ，使 AB=AC，且 BC=a，高 AD=h.作法：（1）作线段 BC=a（如图） ； （2）作线段 BC 的垂直平分线 L，交 BC 于点 D，（3）在 L 上作线段 DA，使 DA=h （4）连接 AB，AC 二 角平分线1 定理：角平分线
8、上的点到这个角两边的距离相等。证明：如图 OC 是AOB 的平分线，点 P 在 OC 上PDOA，PEOB，垂足分别为 D、E，1= 2， OP=OP，PDO= PEO=90PDOPEO （AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）其逆命题也是真命题。引导学生自己证明。2 定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。做一做：用尺规作角的平分线。已知：AOB求作：射线 OC，使AOC=BOC作法：1、在 OA 和 OB 上分别截取 OD、OE，使 OD=OE2、分别以 D、E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 C。12花山居室花山居室九弓塘数
9、学会社 yiyang201208303、作射线 OCOC 就是AOB 的平分线。读一读：尺规作图不能问题：三等分一个任意角，倍立方求作一个立方体，使该立方体的体积等于给定立方体的两倍。化圆为方求作一个正方形，使其与给定圆的面积相等。例 1 填空：1、 如图，在ABC 中，C = 90，DE 是 AB的垂直平分线。1）则 BD = ；来源:Zxxk.Com2）若B = 40，则BAC = ，DA B = ，DAC = ，CDA = ；3）若 AC= 4， BC = 5，则 DA + DC = ，ACD 的周长为 。2、 如图，ABC 中，AB = AC，A = 40，DE 为 AB 的中垂线，则
10、1 = ，C = ，3 = ，2 = ；若ABC 的周长为 16cm，BC = 4cm，则 AC = ，BCE的周长为 。例 2 如图，DE 为ABC 的 AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E， AC = 5，BC = 8，求AEC 的周长。分析：此题侧重于让学生体会解题过程，培养学生的逻辑思维 。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。EDABC CBAD E13 2EDAB C花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830例 3 已知在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3cm，ABD 的周长是 13cm，求ABC的周长。分析：此
11、题与上例类似 ，在证明时，要多一步，要说明 AC 的长度。讲解时借助细绳，让学生更好 地理解各线段之间的关系。例 4 如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于 E，交 BC 于 D，ABC 的周长为 12cm， ABD 的周长为 9cm，求 AC 的长度。分析：此题与上例刚好相反，已知两三角形的周长，求其中一条边的长，过程与上面相反。培养学生的逻辑思维。讲解时借助细绳，让学生更好地理解各线段之间的关系。B CBADE花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830一、 随堂练习来源:学科网1、 如图，已知 AB = AC = 14cm，AB 的垂直平 分线交 AC 于 D
12、。1） 若DBC 的周长为 24cm，则 BC = cm；2）若 BC = 8cm，则BCD 的周长是 cm。2、 在ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，ABC 和DBC 的周长分别是 60cm和 38cm，求 AB、BC。3、 如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，如果 AC= 5cm，BC= 4cm，AE = 2cm，求CDB 的周长。例题选讲例 1.如下图，AP、BP 分别平分ABO 的外角，AOB40，则AOP 。EBC花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830解：20例 2.如图 ABC 中，AB AC，BD、CE 分别
13、是 ABC 两底角的平分线，求证：BDCE。证明： ABC 中AB ACABCACB.又BD、CE 分别平分ABC 和ACB ACBB21,2112在 BDC 与 CEB 中21CBED BDCCEB（ASA）BDCE例 3. 已知：如图，C=90B=30，AD 是 RtABC 的角平分线。求证：B D=2CD。花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830分析：根据已知条件可求出BAC 的度数，再由 AD 是 ABC 的角平分线，可分别求出上图中其余各角的度数，再证明结论就容易了。证明：由C=90，B=30，知BAC=60。因 AD 是 ABC 的角平分线，故BAD=CAD=3
14、0。则B=BAD。可知 AD=BD。在 ADC 中，DAC=30 ，C=90，则 AD=2CD。故 BD=2CD。引申：该题中，若条件不变，如上图，从 D 点向 AB 作垂线交 AB 于点 E，请问： ADEADC 是否成立？BD=2DE 是否成立？不难看出，因为 AD 是 ABC 的角平分线，由角平分线的性质可 知 DE=DC，则 ADE 与ADC 全等的条件可轻松找到，BD=2DE 显然也成立。这是在特殊角三角形的情况下考虑的，若推广到一般三角形的情况，解答该题的主要依据“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”依然是一个重要的解题条件。例 4. 已知：如下图，ABC 的外角CBD 和BC
15、E 的平分线相交于点 F。求证：点 F 在DAE 的平分线 上。分析：该题图比较简单，单从上图中很难看出应该怎么证明结论。但问题既然涉及角平分线，我们很容易想到定理“在一个 角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平花山居室花山居室九弓塘数学会社 yiyang20120830分线上” ，所以不妨过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段，这样就找到了解决问题的切入点。证明：如上图，过点 F 分别作 BD，BC，CE 的垂线段 FG，FH，FM。因 BF 是CBD 的平分线，所以 FG=FH。同理 FH=FM，则 FG=FM。因点 F 在DAE 内，且点 F 到 AD，AE 的距离相等，故点 F 在DAE 的平分线上。引申： 该题中，若条件不变，请问：A 与BFC 有怎样的数量关系？请同学们进一步探索。例 5. 已知：如图 1所示，ABC，ACB 的平分线交于
