《角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分 a、b 两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行b、 如图乙：一直线与角的平分线平行2等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3等腰三角形与平行线往往出现角平分线a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。
2、角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：例 1、如图 1：已知在ABC 中 ABC、 ACB 的平分线交于点 I，过点 I 作DE/BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。求证：DE=BD+CE。证明：例 2、如图 2：已知 I 是 ABC 的内心，DI/AB 交 BC 于点 D，EI/AC 交 BC 于 E。求证：DIE 的周长等于 BC。证明：31213/OACDDCO等 腰 三 角 形E等 腰 三 角 形214/E43213DCOOACD/3243ABEAOB213DEC/31132/DC242/OE123/BCDE3I同 理 ： CEBI13/ABDI BI2图甲1 3AB
3、 CD EI 图（2）2321I EDAB C432OD ECBA1图乙同理：EI = CE。DIE 的周长=DI + IE + ED = BC例 3、如图 3：已知在ABC 中， ABC 的平分线与 ACB 的外角平分线交于点D，DE/BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，求证：EF = BECF 。证明：同理：CF = FD EF = ED FD = BE CF例 1、 例 2、例 3 都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。例 4、平行四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4 ， 的平分线交 AD 于点 E，ABC的平分线交 A
4、D 于点 F，BE、CF 交于点 G，FG=1。求： 的度数。BCD解：125/BCAD平 行 四 边 形 15同理可证：DF = CD = AB = 3 AF = 1EF = AD （AF + DE ）= 4 2 = 2 评注：此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即ABE 和DCF。利用平行四边形的对边相等，分别得到 AF=DE=1。21/BDCEBE1B1433AEADBCEBCDACAB21380/平 行 四 边 形 EFGFBC21,90909032Q0350A014321FE DMCBA用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到 RTBGC，RTBGF。如果直角边为斜边的
5、一半则直角边所对的角为 300。用三角形内角和定理得 。012A例 5、在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O；DE 平分 ADC，交 BC 于点E， BDE=150，求 COE 的度数。解： 045CEDCE等边OCD 00369OCE 00752318COE评注：矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。有一个角为 60 度的等腰三角形为等边三角形。等腰三角形的一个底角= 。顶 角0182此题关键是 。CEOCD此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形 CDE”。例 6、 在ABC 中， ，A DB C 于点 D ，点 E 在 B C 的延长线上，且09
6、B，AD=3，DE=4。求：CD：CE 的值。AE解：009BD45C9DB平 分矩 形 ODAC21OB6015410矩 形Q0DD54342EDRTC 2190419023/ BBCADFEAF的 延 长 线 于 点， 交作EODAB C 评注：关键由 发现 AC 平分 。2,1BDAE作角平分线的平行线构造出等腰ADF。由勾股定理求出 AE=5，从而求出 CD：CE 的值。例 7、 如图： BD 是角平分线 DE/BC，交 AB 于点 E。求,1,90CADE 之长。解： 。 。DEBCDE/设 AE=AD=x；则 DE= x213/CEEB3 xB212xA 1 2DE评注： 发现AE
7、D 仍为等腰直角三角形。 由角平分线、平行线发现等腰BED。 设未知数，列方程求出 DE 之长。 （方程思想）例 8、 如图：已知 RtABC 中，以 AB 为直径的O 交斜边 BC 于点 D，OE/BC 交 AC于点 E。求证：DE 是O 的切线。33AFDF5/CEAD3CBAE D1 2证明： BODBE321/Q公 有EA1 o90OAEDAEED 是圆 O 的切线。评注：只能利用定义证明直线与圆相切。由等腰三角形和平行线，发现角平分线得1=2。利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。例 9、AB 是O 的直径，BC 是O 外一点。PBAB，AC/OP 交O 于 C 点。求证：PC 是
8、O 的切线。证明：连结，则 4231/ACOPBBOP430099CAC。的 切 线是 圆 OPD【切线的判定方法：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 】评注：由等腰AOC 的构造出现，进而可发现3 = 4。利用直角B 证明了P C O 为直角。具体判定直线与圆相切的两个判别方法：作垂足，垂足在圆上。连半径，证明半径的外端就是垂足。例 10、已知：AB 是O 的直径， BC 是O 的切线。切点为点 B，DC 是O 的切线。求证：OC/AD。证明:连结 OD,则 321/ADCOBOBD公 有 32的 切 线 。是 圆DCC09C PBA O12 3 4 6DCBA O12 3 45评注：
9、欲证相切，找垂直。利用直角证直角。例 11、如图：已知在梯形 ABCD 中，点 O 在 AB 上，半圆O 与 AD、CD、BC 相切，且 AD = 5， BC = 3。求 AB 的长。解：（方法一）连结 OC、OD则有 321/2CDAB3O同理：OA = AD = 5AB = OA + OB = 5 + 3 = 8（方法二）延长 DA 至 E，延长 CB 至 F，使 AE=AD、BF=BC；连结 EF，则EF/CD，且 EF 与O 相切。则（圆外切四边形的对边之和相等） 。例 12、已知 P 为O 外一点，通过作O 的两条割线，分别交 O 于 A、B 和 C、D点，且 AB 是O 的直径。已
10、知 PA=OA=4，AC=CD。求 CD 长。求 cosB 的值。解：连结 BC、OC、AD。 25,144CDA321CBOBPDO设 PC= y , CD= x .PO = 8 , OB = 4 xy248y(y + x) = 412 12)2(x4862x 242yCDA且AB 是圆 O 的直径. 20,9ACBBABC= 1425628PCDP相 似 于58)610(2)2(1)(21)(21 CADFB CD BA O 311 2DCPAB O12 3 45241ADPCBBDA = 90 O72 cosB=6824386ABD评注：平行线截得成比例线段。割线定理可变成为成比例线段。
11、代数法解几何题（方程思想） 。引申说明：BC 是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形 ACD; BC 是ABD的平分线，而 AB 又是O 的直径。因此，连结 OC 得等腰三角形 BOC,进而观察联想到OC/BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。例 13、如图：AB 是O 的直径，C 是O 上一点，直线 DE 切O 于点 C, AB 的延长线交 ED 于点 E，CGAB 于点 G，A DCD 于点 D, AD 交O 于点 F. 求证：AGBG = ADDF.证明：（方法一）连结 OC,则 DED/CGABCGOCA2132延长 CG 交O 于点 H.GBAHCAB的 直 径是 圆G2CD2 =DFAD 由得：AGGB = ADDF .(方法二)连结 CB，则 ABCDFGGCDFAB2HFDCEABOG123评注：由平行线、等腰三角形得到角平分线。由角平分线性质得：CD=CG.垂直平分弦定理；相交弦定理；切割线定理；综合得结论。运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证：1=2；再证：CG = CD.
