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1、 时间序列-小波分析时间序列（Time Series）是地学研究中 经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有 时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽 具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它 们不但具有趋势性、周期性等特征，还 存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一 频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显
2、然，时域分析和频域分析对此均无能为力。20 世纪 80 年代初，由 Morlet 提出的一种具有时- 频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在 时间序列中的多种变化周期，充分反映系 统在不同时间尺度中的变化趋势，并能 对系统未来发展趋势进 行定性估计。目前，小波分析理论已在信号 处理、 图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间 序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的 识别以及多时间 尺度的分析等。一、小波分析基本
3、原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数 且满足： )R(Lt2（1）0dt)(式中， 为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)t(其中， )abt()t(2/1b,a0aR,b（2）式中， 为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期 长 度；b 为平移因子，反 应时间上的平移。)t(b,需要说明的是，选择合适的基小波函数是 进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若 选择不同的基小波函数
4、，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定 该类研究所需的基小波函数。2. 小波变换若 是由（2）式给出的子小波， 对于给定的能量有限信号 ，其 连续小波变换)t(b,a )R(Ltf2（Continue Wavelet Transform，简写为 CWT）为：（3）dt)ab(fta)b,(WR2/1-f式中， 为小波变换系数； f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；)b,a(Wf为 的复共轭函数。地学中 观测到的时间 序列数据大多是离散的， 设函数 ，)abx
5、()a( )tk(f（k=1,2,N; 为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：t（4）)ab-tk()fta)b,(WN1k2/-f 由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸 缩尺度 a 来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节， 实现对信号不同时间尺度和空 间局部特征的分析。实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。3. 小波方差将小波系数的平方值在 b 域上积分，就可得到小波方差，即(5)db)a,(W)a(Vr2f小波方差随尺度 a 的变化过程，称为小波方差图。由式 (5)可知，它能反映信号
6、波动的能量随尺度 a 的分布。因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析 (Multi-time scale analysis)例题河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多 时间 尺度是径流演化过程中存在的重要特征。所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其 变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化， 这种变化一般表 现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。也就是说 ，径流 变化在时间域中存在多 层次的时间尺度结构和局部变化特征。表
7、1 给出了某流域某水文观测站 1966-2004 年的实测径流数据。试运用小波分析理论，借助Matlab6.5、suffer8.0 和相关软件（Excel 等），完成下述任 务 ：计算小波系数；绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期 变化趋势图，并分 别说明各 图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。表 1 某流域某水文观测站 1966-2004 年实测径流数据（10 8m3）年份 径流量 年份 径流量 年份 径流量 年份 径流量 年份 径流量1966 1.438 1974 2.235 1982 0.774 1990 1.806 1998 1.7091967 1.151 1975
8、 4.374 1983 0.367 1991 0.449 1999 0.0001968 0.536 1976 4.219 1984 0.562 1992 0.120 2000 0.0001969 1.470 1977 2.590 1985 3.040 1993 0.627 2001 2.1041970 3.476 1978 3.350 1986 0.304 1994 1.658 2002 0.0091971 4.068 1979 2.540 1987 0.728 1995 1.025 2003 3.1771972 2.147 1980 0.807 1988 0.492 1996 0.955 2
9、004 0.9211973 3.931 1981 0.573 1989 0.007 1997 1.341分析1. 选择合适的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的 结果。目前，可选用的小波函数很多，如 Mexican hat 小波、 Haar 小波、Morlet 小波和 Meyer 小波等。在本例中，我们选用 Morlet 连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。原因如下：1.1 径流演 变过 程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进行此项分析。1.2 实
10、小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为 /2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。2. 绘制小波系数图、小波方差 图和主周期变化趋势图是关 键当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通 过小波变换获得小波系数，然后利用相关 软件绘制小波系数图、小波方差 图和主周期变化趋势图， 进而根据上述三种 图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。具体步骤1. 数据格式的转化2. 边界效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波
11、系数的实部5. 绘制小波系数实部等值线图6. 绘制小波系数模和模方等值线图7. 绘制小波方差图8. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件 Matlab 6.5、Suffer 8.0 和 Excel，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图 在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。1. 数据格式的转化和保存将存放在 Excel 表格里的径流数据（以 时间为序排为一列） 转化为 Matlab 6.5 识别的数据格式（.mat）并存盘。具体操作为：在 Matlab 6.5 界面下，单击“File-Import Data”，出现文件选择对话框“Import”后，找到需要转化的数
12、据文件（本例的文件名为 runoff.xls），单击“打开”。等数据转化完成后，单击“Finish”，出 现图 1 显示界面；然后双击图 1 中的 Runoff，弹出“Array Editor: runoff”对话框，选择 File 文件夹下的“Save Workspace As”单击，出现图 2 所示的“Save to MAT-File:”窗口，选择存放路径并填写文件名（runoff.mat），单击“保存”并关闭“Save to MAT-File”窗口。2. 边界效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在 时间 序列的两端可能会产生“边界效用”。为消除或减小序列开始点和结
13、束点附近的边界效应，须对其两端数据 进行延伸。在 进行完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列 时段内的小波系数。本例中，我 们利用 Matlab 6.5 小波工具箱中的信号延伸（Signal Extension ）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。具体方法为：在 Matlab 6.5 界面的 “Command Window”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”，按Enter 键弹 “Wavelet Toolbox Main Menu”（小波工具箱主菜单）界面（图）；然后单击“Signal Extension”，打开 Signal Extension / Trunc
14、ation 窗口， 单击“File”菜单下的 “Load Signal”，选择 runoff.mat 文件单击“打开” ，出现图 4 信号延伸界面。Matlab 6.5 的 Extension Mode 菜单下包含了 6 种基本的延伸方式（Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT）和 Direction to extend 菜单下的 3 种延伸模式（Both、Left and Right），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。数据延伸的具体操作过程是：在 Extension Mode 下选择“ Symmetri
15、c”，Dircetion to extend 下选择“Both” ，单击“Extend” 按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜 单下的“Save Tranformed Signal”，将延伸后的数据结果存为 erunoff.mat 文件。从 erunoff 文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸 12 个单位，向后延伸 13 个单位。3. 计算小波系数图 1 数据格式的转化 图 2 数据的保存图 3 小波工具箱主菜单 图 4 径流时间序列的延伸选择 Matlab 6.5 小波工具箱中的 Morlet 复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小波变换
16、，计算小波系数并存盘。小波工具箱主菜单界面见图 3，单击“Wavelet 1-D”下的子菜单“Complex Continuous Wavelet 1-D”，打开一维复连续小波界面，单击 “File”菜单下的“Load Signal”按钮， 载入径流时间序列 erunoff.mat（图 5）。图 5的左侧为信号显示区域，右侧 区域给出了信号序列和复小波 变换的有关信息和参数，主要包括数据 长度（Data Size）、小波函数类型（Wavelet：cgau、shan、fbsp 和 cmor）、取样周期（Sampling Period）、周期设置（Scale Setting）和运行按 钮（Analyze），以及显示区域的相关显示设置按钮。本例中，我们选择 cmor (1-1.5)、取样周期为 1、最大尺度为 32，单击“Analyze”运行按钮， 计 算小波系数。然后单击“File”菜单下的“Save Coefficients”，保存小
