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1、1案例：解直角三角形的应用（一）-发散思维和逆向思维能力的培养张秀梅案例描述与评析解直角三角形的应用（一）重视创新思维能力的培养对于仰角、俯角这两个概念的教学，三位教师采用了如下三种不同的方法：方法一：开门见山，仰角、俯角在课本上:上课后教师首先介绍仰角、俯角的概念，然后给出一些实际的例子，引导学生对照仰角、俯角的概念去辨别哪些是仰角，哪些是俯角，以巩固概念，接着就是利用仰角、俯角的概念去解决一些解直角三角形的训练：例 1：在升旗仪式上，一位同学站在离旗杆 24 米处，行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为 30 度，若两眼离地面 1.5 米，则旗杆的高度是否可求？若可求，求出旗
2、杆的高，若不可求，说明理由.（精确到 0.1 米）分析：学生自己画图，构造直角三角形例 2：某飞机于空中 A 处探测到目标 B，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地面控制点 B 得俯角 =1631，求飞机 A 到控制点 B 的距离(精确到 1米)分析：学生自己画图，构造直角三角形例 3：一名同学站在距地面 20 米的 A 楼上向对面 B 楼顶望去，仰角为 30度，向 B 楼底望去，俯角为 45 度，求 B 楼的高度.（精确到 0.1 米）分析：学生自己画图，构造直角三角形例 4：有一山 CD,从山顶 C 处测得平地上 A、B 两村的俯角分别为2AB CD60、30，其中点 D、A、B
3、 在一条水平线上，如果山高 CD=1000 米，求两村 A、B 之间的距离？分析：学生自己画图，构造直角三角形方法二：仰角、俯角在头脑里教师问学生，我们每天早晨升旗时，你是怎么做的，学生回答仰视，看着国旗冉冉升起，老师又问：那么此时的水平线与视线之间是不是有个夹角，学生回答，是的。师问：你能否为这个角命名，生答：仰角。师答：对，这就是我们今天要学的一个概念，教师又问学生，当我们坐在飞机上或站在高处往下看时，用我们平时的语言来叙述，应该说是什么？生答：俯视。 “对，那么此时的水平线与视线之间是不是也有个夹角呢？”生答：是。师问：你能否为这个角命名，生答：俯角。师答：对这就是我们今天要学的另一个概
4、念。然后老师通过肢体语言来进一步强化仰角、俯角的概念。接下来讲解两个例题：例 1：如图某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角 =30求飞机 A 到控制点 B 的距离例 2：如 图所示，为了测得上海东方明珠电视塔的实际高度，在浦东某地离电视塔 约 780 米的 C处，用测角仪测得塔顶 A 的仰角为 30，已知测角仪的高 CD1.2 米，求上海东方明珠电视塔的高度 AB。方法三：仰角、俯角在生活中 教学过程一创设情景，复习提问31、直角三角形的边、角、边角之间具有怎样的关系？2、如图：EB AB,CA AB,CD EB, E=30,
5、AB=20,AC=5,则 CD= ,ED= , EB= .（ 图略）3、如图：AD AC, C=30,ABD=60, AD=5 则 AC= ,AB= , BC= . （ 图略）二新课1、情景引入:解直角三角形的知识有着很广泛的应用，在实际生活和生产中，很多问题都可以转化成数学问题，并运用解直角三角形去解决，今天这节课主要是研究在测量方面的一些应用情景一:下面，请同学们观看一组图片，大家知道这是什么地方吗？（给出一组珠穆朗玛峰的图片）。这些图片是“世界最高峰-珠穆朗玛峰”，新华网快讯：珠峰的新高程数据.米与我国年公布的数据.米相比，珠峰“身高”“矮”了.米。测量珠峰的过程是非常复杂的，现在我们解
6、决一个力所能及的事：假如，我们要了解一下嘉定的法华塔的高度，用我们学过的数学知识，请你设计一个求解方案,现在大家分组讨论；方案：常常在距塔底 B 的适当地方，比如 m 米的 A 处，架一个测角仪，测角仪高 a 米，那么从 C 点可测出一个角， 即ECD=，那么在 RtECD 中，DE=CDtgECD，显然 DEBD 即法华塔的高：在 RtECD 中，DE=CDtgECDmtg所以法华塔的高 BE=BDDE=amtg从这个例子可以得到启发：41要把实际问题转化为数学问题(在本章主要是转化为解直角三角形问题)来解决2解直角三角形的关键就是正确选择并且优选锐角三角比或其它边角关系式3在情景一的已知条
7、件中，用测角仪所测的角(即ECD)在测量中叫做什么角呢？本节课专门从测量中的角来研究问题情景二：下面，请同学们再观看一组图片，大家知道这是什么地方吗？（给出一组黄浦江，东方明珠的图片）那么我想知道一下黄浦江的宽，那么我们又可以怎样操作呢？（同情景一）2、概念讲解进行测量时，在视线与水平线所成的角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角视线在水平线下方的叫做俯角示意图 2 如左：看图时，先要找水平线，再找视线，最后根据视线所处的部位，就可知该角是仰角还是俯角，前面情景一中的ECD，视线在水平线的上方，所以ECD 是仰角情景二中的EDC，EDB，视线在水平线的下方， ，所以EDC，EDB 是俯角3、考
8、考你的眼力：如图，在点 B、C 处看点 A 的仰角分别是_， ；在点 A 处看点 B、C 的俯角分别是_,_.D C BA F5三、反思教师首先让学生观看一组图片,珠穆朗玛峰,由它的高度的变化,引出利用解直角三角形来解决测量本区的法华塔的高度.通过方案的设计，在设计中出现了测角仪测角问题，从而得出仰角的概念。此时，通过任何事物都是相对的，引出俯角的概念，接下来又给出一组图片，是有关外滩，东方明珠电视塔的图片，然后给出同学们又一个问题，若你站在东方明珠塔的第二个球内，让你设计一个求黄浦江宽的方案。同学们在答题纸上完成上述问题。每个学生都想在生活中找到这样一个能用解直角三角形来解决问题的实例。此时
9、此刻，学生完全融入到解直角三角形与生活的联系中先看一个现代版的寓言三个馒头：有一个人肚子饿了，就吃馒头，吃了一个没有饱，就吃第二个，吃了两个还是没有饱，就吃第三个，吃了三个后肚子饱了。这时他就后悔了：早知如此，不如就吃第三个馒头了，前面两个都是浪费了。这虽说是一个寓言，生活中没有人会真的这么想，但在数学教学中就有这种现象。如第一种方法，教师首先介绍仰角、俯角的概念，就相当于直接端出了第三个馒头；然后教师带领学生对照定义辨别代数式仰角、俯角的概念，这就相当于教师示范吃第三个馒头；接下去的练习就是学生吃第三个馒头的过程。这是一种比较传统的教学方法，这种方法的特点是，教师比较重视“教”的方案设计，能
10、在较短的时间内完成学习的内容，课堂教学完全按教师课前设计好的程序有序地进行，教师起主宰的作用。但这种方法的弊端也是显而易见的。教师以自己的思维代替学生的思维，以自己的讲解代替学生的思考和探索，忽视6了学生学的一面。重视结论的给出，不重视过程的探索，把本应该用于思考的时间“节省”下来用于加大训练学生解题的时间。导致的结果是学生的思维比较封闭，能力比较单一，学生的情感、态度、价值观得不到体现。这种典型的照书请客的做法已不可取。第二种方法采用了让学生探索规律的方式引入仰角、俯角，这种方式能调动学生的学习积极性，使学生主动地进行学习。整节课上，教师既有严谨的概念叙述，更有肢体的语言，学生的思维活跃，积
11、极性高。但纵观整个教学过程，似乎觉得“仰角、俯角在学生的头脑里” ，这节课的功能无非是教师在帮助学生挖掘头脑里已有的仰角、俯角而已。这显然不符合初三学生的认知规律，他们应该由直观到抽象，而不是由抽象的数学再还原到生活，所以仰角、俯角的教学还是应该注重联系生活实际，由实际生活中抽象出数学概念，再应用数学知识去解决实际问题比较妥当。 第三种方法，教师结合当前社会的事例，深入浅出，并注意发散学生的思维。在对代数式仰角、俯角的理解基础上，教师引导学生逆向思维，引发了学生对仰角、俯角的解释，思路由此打开，仰角、俯角赋予了相应的生活意义。学生对知识的理解更加透彻，同时也加深了数学和实际的联系，更清晰地看到
12、了数学就在我们身边。比较三个教学方法，它们所引导的学生的思维方式大相径庭。方法三不仅注意到知识的落实，由于加强了对发散思维和逆向思维的训练，使学生思维更具有灵活性、广阔性。解直角三角形在实际生活中的多方面应用，使思维的结果具有发散性、开拓性特征，这些特征便是创造性的重要特征，加强发散思维和逆向思维的训练对创造性思维的培养具有重要意义。逆向思维是指根据概念、原理、思想、方法及研究对象的特点，从它相反或否定的方面去思考,以产生新的概念。在数学教学中，学生学习和掌握的许多7概念、公式、定理、法则，大多是正向思维的结果，是概念、公式的正向应用，而在应用的同时我们也应注意学生逆向思维的培养，如若不然，学生就会形成一种思维定势，只习惯于正面思考问题，而忽略了概念公式的逆向应用，因而缺少了应变能力，不利于创新思维能力的培养。因此,在学习和研究数学的过程中有机地、适当地注意从数学问题的相反或否定方面进行数学逆向思维，就能在探索中，在对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清对某些数学概念的模糊认识,更深刻、透彻地理解教材内容，巩固所学知识。
