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1、浅 谈 无 穷 级 数 的 求 和Investigate of the summation of infinite series专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一 I 摘 要本文介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和这几种方法求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.关键词: 级数; 求和; 幂级数; 傅里叶级数 II AbstractIn this paper, we discuss the methods of the summation substraction by partition terms or misplace, di
2、fferentiation term by term, integration term by term and the summation of the special series. Some examples are illustrated to the applications of these methods.Keywords: series; summation; power series; Fourier series 目 录摘 要 .IABSTRACT.II0 引言 .11 裂项相消法 .12 错位相减法 .23 逐项微分法 .64 逐项积分法 .85 运用特殊级数的和求和法
3、.9参考文献 .13 第 1 页, 共 13 页0 引言无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分. 它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具. 众所周知 , 收敛级数都有和, 然而求出收敛级数的和常常是较困难的. 因此, 本文将讨论运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和来求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用.为行文的简洁, 本文中未特别申明的符号与文献1一致.1 裂项相消法设 , , 则 的部分和为1nu1nnv1u.1nsv若 , 则1limnvA.1limnsAv也就是说 的和为 .1nu1v我们称上述求级数和的方法为裂项相消
4、法.利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明.例 1 求无穷级数 的和.1(2)n解 因为 , 11()(2)2nn所以, 1 1()()(1)234 2nS n 于是 第 2 页, 共 13 页.limnS11()22n34所以.1()n如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.例 2 求级数 的和. 201arctn解 先考虑变换问题的数学形式, 由 ,2(1)arctarctn1kk联
5、想到正切的差角公式, tatan()1nt再设 , 则原级数的部分和为tan1,k 21arctnrtarctnarctn37(21)(3)rtrt(rtrtaac1),nS所以.20rtnlimliarctn(1)2nS如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法.例 3 求和 .1()1)nn解 先对通项分母中的和式进行有理化, 得,1(1)()nnn于是, 有 第 3 页, 共 13 页111()()()()23nSnn,1所以 .1 1limli()()1)nn Sn2 错位相减法设 为等差数列, 公差为 , 为等比数列, 公比为
6、, 则称 为混合级数,这nudnvq0nuv类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上, 设, (1)123n nSuvvu两边同时乘以公比 得q, 123n nqqv即, (2)123411n nnqSuvvu(5)式减去(6)式得, 1231()()n ndv.1231limli nnSquvuv我们这种求级数和的方法为错位相减法.例 4 求级数 的和.13n解 因为 , (3)21nnS 第 4 页, 共 13 页, (4)2313n nS(7)式减去(8)得, 23113nn n即, ()3(1)23231nn nS于是,limli()3232nnS所以 , 故 .39lim24nS1
7、94n3 逐项微分法定理 若在 上, 的每一项都具有连续导数 一致收敛于 , 21ab1()nux ()nux()x又 收敛于 , 则 , 即1()nux()Sx(),11()()nndduxux且 一致收敛于 .1()nux()Sx这定理说明了和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要注意的是, 仅仅在条件 “ 一致收敛”之下, 即使 存在且连续, 也不能保证和号1()nux ()nux同求导数号可以交换.例 5 求级数 的和.357(1)xx解 令 ,357()FL 第 5 页, 共 13 页在收敛域 内逐项微分, 得1.246211Fxxx注意到 , 所以(0)F,20()
8、arctn1xdt于是当 时, 有1x.357arctnxx例 6 求级数 .11()352n的 和解 令,35121()nnxxx S()逐项求导得,241232()1()n所以.200()()arctnxxSddx因为级数 在 处收敛, 所以121()nn,()arctn14S即.11()352n例 7 求级数 的和函数.20()!nx解 , 令该 级 数 的 收 敛 区 间 为 ，,21350()!nxxy,2240)!n 第 6 页, 共 13 页所以,234()1!xxyx e, ()xyxe即 满 足 微 分 方 程 此 方 程 为 一 阶 线 性 微 分 方 程 ， 其 通 解
9、为.()2xyce例 8 求幂级数 的和.21()!1nn解 在 上对 逐项求导, 可知x()Sx,211()! (nnx.221()!4(nn由此可得 . 在这两端乘以 , 我们有2(1)()xSx 21)x,2()4,S解得.22arcsin1()()xxx4 逐项积分法定理 2 设 在 上一致收敛于 , 并且每一 都在 上连1()nux,ab()Sx()nux,ab续, 则,1 1()()()bbbx naaanudSxuxd 亦即和号可以与积分号交换. 又在 上, 函数项级数 也一致收敛于1()xnat 第 7 页, 共 13 页.()xaStd该定理也称为逐项积分定理.例 9 求级数
10、 的和.234(1)xx解 令 , 其收敛域为 , 在收敛域内逐项积分, ()F(1)得 2340 342342341()1)()()1( )ln1)xtdxxxxxx ，其中 , 于是1x.21()ln(1),1()nxxFx例 10 求下列级数的和 S(1) ; (2) .410(2)()2nnxS0()1)2nxS解 (1) 在 上对 作逐项积分, 可知Sx222444000() 111arctn()l().xxnndtdt(2) 对 , 令 , 有0x2t22000221()()()1arctn.ntnnt tnSxdtxd 第 8 页, 共 13 页由此知 .()arctnSxx对
11、, 令 , 有102t,2 22000111() lnnt tndtSt xx 由此可得 .1()lxx5 运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法.例 11 求 .12343485162S解 原式可以用级数表示如下.11()()n nkS考虑级数 , 其收敛半径为 1, 故当 时收敛, 设其和函数11()(2n nk x 2x为 , 下面在区间 内求 . 由于fx0,f,21(1)nn所以 1112()()2(ln)ln(1)2(1,nnnxxfxxxx 第 9 页, 共 13 页令 ,
12、即得 .12x13()5ln2Sf例 12 (1)求级数 的和;1()()468(2)求级数 的和.123n解 (1) 由于 111()()()()46232123(),2nnnnnnnnS 所以, 125lim()3nnnS故.()()246(2) 因为 2111()()()323n nSn,(1)()23n所以 , 从而 .13lim2n1()n例 13 求下列级数的和:(1) ; (2) .1n12()!n解 (1)由于 , 令12,()()nxx,15737fx12 第 10 页, 共 13 页得 的和, 因此12n.1112()42)nn x (2)由于当 时, 有 , 故令 即得x!nxe1x,12于是有 111()()!()!nnn.(2)3e
