整式的有关概念_教材详解及典例分析

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1、1第二章 整式0一、知识频道 概念内涵 概念外延 概念缘由1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。说明：代数式书写时需注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如 ；数字因数是 1 或1 时， “1”省略不写，如mn；（2）带分12ab数与字母相乘时要化成假分数，如： 要写成 的形式；（3）除号要改写成分数ab2线，如：ab 要写成 ；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（ ）b 12ab2R平方米。代数式的系数：在代数式中，每一项字母前的数字因

2、数叫做这一项的系数。说明：当系数是 1 或1 时，1 省略不写，如ab， 等。2a探究引导：在小学我们研究过一些图形的面积，如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式，我们知道三角形的面积底高2，正方形的面积边长边长，长方形的面积长宽；圆的面积 。如下图所示，我们用一些字母代替三角形的底和高、2半 径正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径，那么这些面积公式就可以分别表示为：三角形 的面积为_ _; 长方形 的面积为_ _12ab st正方形 的面积为_ _; 圆 的面积为_ _.这些2a 2R面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象 ，st， ， 这些式子都是代数式，1ab2它们都是数与字母的积，它

3、们的系数分别是 ，1，1，1。2.1 整式1、单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念；知识频道2、列代数式；体验代数式在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣例题频道3、辨析多项式的次数。方法频道22、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系如 就不是一个单项式，因为 2y 与 x 之间是除法运算但是， ab2 是单xy 1项式，因为 是一个数a 2 是一个单项式，因为 a2 可以看作是 aa特别地，单独的一个2数或单独的一个字母也都是单项式，如3，0， ，x， 等都是单项式35

4、（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数说明：单项式的次数，是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和如单项式3x2、2xy、 x2y、 x 的次数分别是 2、2、3、1特别地，单独的一个数字，如 3，31等，可以当做 0 次单项式来看待（3）单项式的系数：单项式中的数字因数即为单项式的系数说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关如 x3yz4 的系数是1，次数为 3148（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式说明：多项式是由几个单项式相加得到的，如多项式 x22x1 是由单项式 x2，2x 和1 相加而得到的（5）多项式的次数：一个多项式中，

5、次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，然后再确定多项式的次数，即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数如，多项式 x3x 2y2x 中，单项式 x3 的次数是 3，单 项 式 x2y2 的 次 数 是 4， 单 项 式 x 的 次 数 是 1， 所 以 多 项 式x3 x2y2 x 的 次 数 是 4（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项每一个单项式就是一项。说明：多项式的项，包括符号如多项式 53x 2 中，二次项是3x 2（7）常数项的定义：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。（8）降幂排列：把一个多项式按

6、某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列（9）升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置如：x32x 4y7xy 3y 472x 4yx 37xy 3y 477y 47xy 3x 32x 4y y 47xy 32x 4yx 37 7x 32x 4y7xy 3y 4 3其中， 是按 x 的降幂排列； 是按 x

7、的升幂排列；是按 y 的降幂排列；是按y 的升幂排列（10）整式的定义：单项式和多项式统称整式说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一如单项式3x 2，x 等都是整式，多项式 3x，x 3x1 等都是整式；在整式 2x，x 41 中，2x 是单项式，x 41 是多项式探究引导：4a, , x,a2h 等，都是数字与字母的乘积 .例如 4a 是 4 与 a 的积，6b5是 与 b2 的积， x 是 与 x 的积，a 2h 是 1 与 a2h 的积.像这样的代数式我们把它2163们都叫做单项式，其中的

8、数字因式如“4”“ ”“ ”“1”是单项式的系数 .，每个单项式中所有635字母的指数和叫单项式的次数。如 是二次单项式，这里要注意 是一个常数，不是21b一个字母，所以单项式中只有一个字母 b，它的指数是 2， 就是一个二次单项式。216b代数式 4a4b 是单项式 4a,4b 的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.，每个单项式就是这个多项式的一项，多项式 4a4b 中的项是 4a 和4b，要注意多项式的项包括符号，所以第二项是4b。在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. x2y 这一项在13x2y+2y1 中次数最高，因此我们把 x2y 的次数

9、3 作为多项式 x2y+2y1 的次数，即31x2y+2y1 是一个三次三项式。二、方法频道 由解题理解知识，由知识学会解题1. 对单项式、多项式、整式进行判断例 1判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式(1)3xy 2； (2)2x31； (3) (xy1)； (4)a 2； (5)0；21(6) ； (7) ； (8) ； (9)x2 1； (10) ；yxxyxx1x解：单项式有：(1)3xy 2，(4)a 2，(5)0 ，(7) ；3y多项式有：(2)2x 31，(3) (xy1)；4不是整式的有：(6) ，(8) ，(9)x 2 1，(10) yx21x1x知识体

10、验：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。没有出现 2x 即 ,或 x2 即 这样的式子，那x22x么 , 是整式吗？ 可以写成 x,所以 是单项式，而 是数字与字母的商，所以不是2x2x21x单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6) ；(8) ；yx21(9)x2 1； (10) ；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式。x易错提示： (6) 和 (7) 这两个代数式常会误以为都是单项式， （7）可以看yx232xy成 ，所

11、以是单项式，而（6）是 2xy，所以不是单项式也不是整式。 (3) xy32 21(xy 1)；会误以为是单项式，其实 (xy1) x+ y+ ，所以是三个单项式的和，2121是一个多项式。2、说出单项式、多项式的次数和项例 2 指出下列各单项式的系数与次数：（1） （2）-mn 3; （3） （4）3；;83ab2yx解：（1） 的系数是 ，次数是 3.8（2）-mn 3 的系数是-1，次数是 4.（3） 的系数是 ，次数是 5.42yx34（4）3 的系数是3，次数是 0。知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是 1 或1 时， “1”省略不写，如-nm 3 中，系数是 1

12、，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如： 的系数是 ，次数是 5。另外，像3， ，0 等这样的常数，是2yx42零次单项式5易错提示：-nm 3 的系数是-1； 的系数是 ，次数是 5，如写成系数是 ，342yx3443次数是 6 就不对了.例 3、填空：（1）多项式 2x4-3x5-2 4 是 次 项式，最高次项的系数是，四次项的系数是 ，常数项是 ，补足缺项后按字母 x 升幂排列得；（2）多项式 a3-3ab2+3a2b-b3 是 次 项式，它的各项的次数都是，按字母 b 降幂排列得 .解：（1）五，三，-3，2， 2 4，-2 4+0x+0x2+0x3+2x4

13、-3x5;（2）三，四，3，-b 3-3ab2+3a2b+a3.应用体验：2 4 是常数项，不是 4 次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。另外，第（2）小题所给多项式各项次数都等于 3，一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧：多项式应看作是省略括号的和的形式因此，当确定多项式的项时，应包括符号另外，圆周率 是一个常数回答多项式是几次几项式时，数字要大写.如五次三项式，不能写成 5 次 3 项式.；补足缺项，是把升（或降）幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.，移动多项式的某一项的位置

14、时，要连同前面的符号一起移动.，对含有两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列，本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道（一）题型分类全析1、与代数式有关的题型例 1. 用代数式表示：（1）把温度是 t的水加热到 100，水温升高了_。（2）一个两位数，个位数字是 a，十位数字是 b，则这个两位数可表示为_。（3）用字母表示两个连续奇数为_。（4）若正方体的棱长是 a1，则正方体的表面积为_。（5）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定） ，请你帮他计算可以射进阳光的面积为_米 2。6b米 a米思维直现：（1）温度差别就是末了温度初始温度；（2

15、）一个两位数的表示方法：十位数字10各位数字；（3）连续奇数之间相差 2；（4）正方体的表面积棱长棱长6；（5）射进阳光的面积长方形面积阴影部分的面积。解：（1） （100t）（2）10ba（3）2n1，2n1（n 为整数）（ ）462（ ） 5362326242ababab阅读笔记：用代数式表示，要仔细读题，找到题目中的等量关系，将需要表示的量表达出来，书写代数式时要注意：（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如 10ba；数字因数是 1 或1 时， “1”省略不写，如（100t） ；（2）带分数与字母相乘时要化成假分数，如： 要写成 的形式；（3）除号要改写成ab2分数线，如：ab 要写成 ；（4）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（ b 1ab）平方米。2R题评解说：