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1、1第二章 整式0一、知识频道 概念内涵 概念外延 概念缘由1、代数式的有关概念代数式:用基本的运算符号(包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式,单独一个数或一个字母也是代数式。说明:代数式书写时需注意:(1)数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写,数字要写在字母前面,如 ;数字因数是 1 或1 时, “1”省略不写,如mn;(2)带分12ab数与字母相乘时要化成假分数,如: 要写成 的形式;(3)除号要改写成分数ab2线,如:ab 要写成 ;(4)书写单位时要把代数式用括号括起来,如( )b 12ab2R平方米。代数式的系数:在代数式中,每一项字母前的数字因
2、数叫做这一项的系数。说明:当系数是 1 或1 时,1 省略不写,如ab, 等。2a探究引导:在小学我们研究过一些图形的面积,如三角形、正方形、长方形和圆的面积公式,我们知道三角形的面积底高2,正方形的面积边长边长,长方形的面积长宽;圆的面积 。如下图所示,我们用一些字母代替三角形的底和高、2半 径正方形的边长、长方形的长和宽、圆的半径,那么这些面积公式就可以分别表示为:三角形 的面积为_ _; 长方形 的面积为_ _12ab st正方形 的面积为_ _; 圆 的面积为_ _.这些2a 2R面积公式的表现形式比文字表示要简捷。象 ,st, , 这些式子都是代数式,1ab2它们都是数与字母的积,它
3、们的系数分别是 ,1,1,1。2.1 整式1、单项式的系数、次数,多项式的项、次数等概念;知识频道2、列代数式;体验代数式在处理实际问题中的优越性,感受数学的乐趣例题频道3、辨析多项式的次数。方法频道22、整式的有关概念(1)单项式的定义:都是数与字母的积的代数式叫做单项式说明:判断一个代数式是不是单项式,主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系如 就不是一个单项式,因为 2y 与 x 之间是除法运算但是, ab2 是单xy 1项式,因为 是一个数a 2 是一个单项式,因为 a2 可以看作是 aa特别地,单独的一个2数或单独的一个字母也都是单项式,如3,0, ,x, 等都是单项式35
4、(2)单项式次数:一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数说明:单项式的次数,是指这个单项式中将所有字母指数相加得到的和如单项式3x2、2xy、 x2y、 x 的次数分别是 2、2、3、1特别地,单独的一个数字,如 3,31等,可以当做 0 次单项式来看待(3)单项式的系数:单项式中的数字因数即为单项式的系数说明:在单项式中,系数只与数字因数有关;次数只与字母有关如 x3yz4 的系数是1,次数为 3148(4)多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式说明:多项式是由几个单项式相加得到的,如多项式 x22x1 是由单项式 x2,2x 和1 相加而得到的(5)多项式的次数:一个多项式中,
5、次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数说明:在确定多项式的次数时,应先计算出多项式的每一项的次数,然后再确定多项式的次数,即取次数最大的项的次数作为该多项式的次数如,多项式 x3x 2y2x 中,单项式 x3 的次数是 3,单 项 式 x2y2 的 次 数 是 4, 单 项 式 x 的 次 数 是 1, 所 以 多 项 式x3 x2y2 x 的 次 数 是 4(6)多项式的项数:一个多项式中有几个单项式就有几项每一个单项式就是一项。说明:多项式的项,包括符号如多项式 53x 2 中,二次项是3x 2(7)常数项的定义:在多项式中,不含有字母的项叫做多项式的常数项。(8)降幂排列:把一个多项式按
6、某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列(9)升幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列说明:把多项式按升幂或降幂排列时,一定要弄清是针对哪个字母的排列,排列时只看这个字母的指数,而后按照加法交换律交换项的位置对于不同的字母,排列后的顺序往往不同,切记重新排列多项式时,各项一定要带着符号移动位置如:x32x 4y7xy 3y 472x 4yx 37xy 3y 477y 47xy 3x 32x 4y y 47xy 32x 4yx 37 7x 32x 4y7xy 3y 4 3其中, 是按 x 的降幂排列; 是按 x
7、的升幂排列;是按 y 的降幂排列;是按y 的升幂排列(10)整式的定义:单项式和多项式统称整式说明:知道一个代数式,不论是单项式还是多项式,都一定是整式;反之,如果已知一个代数式是整式,那么它或者是单项式,或者是多项式,二者必具其一如单项式3x 2,x 等都是整式,多项式 3x,x 3x1 等都是整式;在整式 2x,x 41 中,2x 是单项式,x 41 是多项式探究引导:4a, , x,a2h 等,都是数字与字母的乘积 .例如 4a 是 4 与 a 的积,6b5是 与 b2 的积, x 是 与 x 的积,a 2h 是 1 与 a2h 的积.像这样的代数式我们把它2163们都叫做单项式,其中的
8、数字因式如“4”“ ”“ ”“1”是单项式的系数 .,每个单项式中所有635字母的指数和叫单项式的次数。如 是二次单项式,这里要注意 是一个常数,不是21b一个字母,所以单项式中只有一个字母 b,它的指数是 2, 就是一个二次单项式。216b代数式 4a4b 是单项式 4a,4b 的和,像这样的几个单项式的和所形成的代数式,我们把它叫做多项式.,每个单项式就是这个多项式的一项,多项式 4a4b 中的项是 4a 和4b,要注意多项式的项包括符号,所以第二项是4b。在一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. x2y 这一项在13x2y+2y1 中次数最高,因此我们把 x2y 的次数
9、3 作为多项式 x2y+2y1 的次数,即31x2y+2y1 是一个三次三项式。二、方法频道 由解题理解知识,由知识学会解题1. 对单项式、多项式、整式进行判断例 1判断下列各代数式,哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式(1)3xy 2; (2)2x31; (3) (xy1); (4)a 2; (5)0;21(6) ; (7) ; (8) ; (9)x2 1; (10) ;yxxyxx1x解:单项式有:(1)3xy 2,(4)a 2,(5)0 ,(7) ;3y多项式有:(2)2x 31,(3) (xy1);4不是整式的有:(6) ,(8) ,(9)x 2 1,(10) yx21x1x知识体
10、验:只有数字与字母的乘积,这样的代数式是单项式,几个单项式的和组成多项式,单项式和多项式都是整式。在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法(可转化为加法)的运算,这样的代数式就是整式。没有出现 2x 即 ,或 x2 即 这样的式子,那x22x么 , 是整式吗? 可以写成 x,所以 是单项式,而 是数字与字母的商,所以不是2x2x21x单项式,更不是整式,所以整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6) ;(8) ;yx21(9)x2 1; (10) ;这几个代数式分母中含有字母,就不是整式。x易错提示: (6) 和 (7) 这两个代数式常会误以为都是单项式, (7)可以看yx232xy成 ,所
11、以是单项式,而(6)是 2xy,所以不是单项式也不是整式。 (3) xy32 21(xy 1);会误以为是单项式,其实 (xy1) x+ y+ ,所以是三个单项式的和,2121是一个多项式。2、说出单项式、多项式的次数和项例 2 指出下列各单项式的系数与次数:(1) (2)-mn 3; (3) (4)3;;83ab2yx解:(1) 的系数是 ,次数是 3.8(2)-mn 3 的系数是-1,次数是 4.(3) 的系数是 ,次数是 5.42yx34(4)3 的系数是3,次数是 0。知识体验:单项式的系数,包括前面的符号,当单项式的系数是 1 或1 时, “1”省略不写,如-nm 3 中,系数是 1
12、,则把“1”省略不写;圆周率只是一个常数符号,不能把它作为字母,如: 的系数是 ,次数是 5。另外,像3, ,0 等这样的常数,是2yx42零次单项式5易错提示:-nm 3 的系数是-1; 的系数是 ,次数是 5,如写成系数是 ,342yx3443次数是 6 就不对了.例 3、填空:(1)多项式 2x4-3x5-2 4 是 次 项式,最高次项的系数是,四次项的系数是 ,常数项是 ,补足缺项后按字母 x 升幂排列得;(2)多项式 a3-3ab2+3a2b-b3 是 次 项式,它的各项的次数都是,按字母 b 降幂排列得 .解:(1)五,三,-3,2, 2 4,-2 4+0x+0x2+0x3+2x4
13、-3x5;(2)三,四,3,-b 3-3ab2+3a2b+a3.应用体验:2 4 是常数项,不是 4 次项。确定多项式项时不要漏掉前面的符号,移动多项式的某一项的位置时,要连同前面的符号一起移动,这些都是容易犯错误的地方,要引起高度重视。另外,第(2)小题所给多项式各项次数都等于 3,一般称这样的三次多项式为三次齐次式.解题技巧:多项式应看作是省略括号的和的形式因此,当确定多项式的项时,应包括符号另外,圆周率 是一个常数回答多项式是几次几项式时,数字要大写.如五次三项式,不能写成 5 次 3 项式.;补足缺项,是把升(或降)幂排列中缺少次数的项的系数用零表示补入式中.,移动多项式的某一项的位置
14、时,要连同前面的符号一起移动.,对含有两个以上字母的多项式,一般按其中的某一个字母的指数大小顺序排列,本题是按规定的字母指数大小排列。三、例题频道(一)题型分类全析1、与代数式有关的题型例 1. 用代数式表示:(1)把温度是 t的水加热到 100,水温升高了_。(2)一个两位数,个位数字是 a,十位数字是 b,则这个两位数可表示为_。(3)用字母表示两个连续奇数为_。(4)若正方体的棱长是 a1,则正方体的表面积为_。(5)如图,亮亮家装饰新家,他为自己的房间选了一款窗帘(上方阴影固定) ,请你帮他计算可以射进阳光的面积为_米 2。6b米 a米思维直现:(1)温度差别就是末了温度初始温度;(2
15、)一个两位数的表示方法:十位数字10各位数字;(3)连续奇数之间相差 2;(4)正方体的表面积棱长棱长6;(5)射进阳光的面积长方形面积阴影部分的面积。解:(1) (100t)(2)10ba(3)2n1,2n1(n 为整数)( )462( ) 5362326242ababab阅读笔记:用代数式表示,要仔细读题,找到题目中的等量关系,将需要表示的量表达出来,书写代数式时要注意:(1)数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写,数字要写在字母前面,如 10ba;数字因数是 1 或1 时, “1”省略不写,如(100t) ;(2)带分数与字母相乘时要化成假分数,如: 要写成 的形式;(3)除号要改写成ab2分数线,如:ab 要写成 ;(4)书写单位时要把代数式用括号括起来,如( b 1ab)平方米。2R题评解说: