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1、初中三角函数的有关计算一、锐角三角函数相关知识点概述（学生相互提问，相互检测，教师导视）1、仰角、俯角（学生互查，看看能否在作业本上画出草图）仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图图 1 图 2温馨提示：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角2、坡角和坡度（学生在作业本上完成，不足之处，相互讨论改正）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示坡度(坡比)：坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度，用字母 i 表示则 如图 2.温馨提示：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡(2
2、)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形3、方向角（同桌相互说方向，画出示意图，不足之处，讨论改正）在平面上，过观测点 O 作一条水平线（向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则从 O 点出发的视线与铅垂线所夹的锐角，叫做观测的方向角如图 3 中，OA，OB，OC，OD 的方向角分别是：北偏东 30，南偏东 45（东南方向）.南偏西 80，北偏西60.图 3 图 44、方位角（学生互测）从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫方位角，如图 4 中，OA，OB，OC 的方位角分别为DOA，DOB，DOC.二、锐角三角函数重点难点知识归纳（学生相互讨论，总结解直角
3、三角形的步骤应，总结应该注意的问题）1、怎样运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题在解决实际问题时，运用三角函数解决与直角三角形有关的问题有着广泛的应用我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用数形结合的方法解决一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形其中，找出有关的
4、直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决2、直角三角形的解法的几种类型（1）已知一条直角边和一个锐角和一条直角边 a 时，如图，则B=90A， .（2）已知两直角边 a、b，如图，则 ，由 ，可求A，则B=90A.（3）已知斜边和一直角边，如 c、a，如图，则可求 ，由 ，可求出A，B=90A.（4）已知一斜边和一锐角，如 c，A，如图，B=90A，a=csinA，b=ccosA .3、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化
5、为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角(2)把数学问题总是转化成解直角三角形问题如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答并注明单位三、锐角三角函数典型例题讲解1、测量河宽例 1、如图，河边有一条笔直的公路 l，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸 B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量
6、的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出 B 点到公路的距离学生先独立完成，然后再分组讨论，每组找出解决问题的方法，及存在的问题分析：(让学生展示，教师引导学生寻找解决问题的途径)这是一个实际问题，要求 B 到 CD 的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有 AB的式子表示 AC 和 AD，而 ACAD=m，可运用解方程的方法求出 AB 即可解：（学生独立完成，同桌相互讨论，教师指导） (1)测角器、尺子；(2)测量示意图如图；测量步骤：在公路上取两点 C，D，使BCD，BDC 为锐角；用测角器测出BCD=，BDC=；用尺子测得 CD 的长，记为 m 米；计算求值(3)
7、解：设 B 到 CD 的距离为 x 米，作 BACD 于点 A，在CAB 中，x=CAtan，点评：（学生总结解题所得，教师补充）运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)2、仰角、俯角问题例 2、如图所示，不透明圆锥体 DEC 放在直线 BP 所在的水平面上，且 BP 过底面圆的圆心，其高为 ，底面半径为 2m某光源位于点 A 处，照射圆锥体在水平面上留下的影长 BE=4m(1)求B 的度数；(2)若ACP=2B，求光源 A 距水平面的高度 学生先独立完成，然后教师引导学生分组讨论，让每组学生说说解题过程，并提出问题）分析：(（
8、每组学生展示解决问题的办法，学生补充，教师引导）本题综合考查锐角三角函数、直角三角形等知识解答时需作出过点 D 和点 A 的 BP 的垂线，然后在直角三角形中利用边角关系求解解：(1)过点 D 作 DFBC 于点 F，由题意，得 EF=2m，BE=4m，在 RtDFB 中， 所以B=30(2)过点 A 作 AHBP 于点 H因为ACP=2B=60，所以BAC=30，AC=BC=8m，在 RtACH 中 ，即光源 A 距水平面的高度为例 3、如图，在平地 D 处测得树顶 A 的仰角为 30，向树前进 10m，到达 C 处，再测得树顶 A 的仰角为45求树高 AB(结果保留根号)（每个同学先独立完
9、成，在分组检测，帮助存在问题的同学找到解决问题的办法，教引导），分析：先将实际问题转化为数学问题，构造出直角三角形已知ABC=90，ACB=45，ADB=30，CD=10m，求 AB由于 AB 所在的 RtABC 和 RtABD 都不够解三角形的条件，所以需设 AB=x，同时解两个直角三角形，得到关于 x 的方程再求出 x 的值解：（学生完成,学生评价）设 AB=xm，则在 RtABC 和 RtABD 中，BC=ABcot45，BD=ABcot30，四 课堂练习坡角、坡度(坡比)、如图，一水坝横断面为等腰梯形 ABCD，斜坡 AB 的坡度为 ，坡面 AB 的水平宽度为 上底宽 AD 为 4m，
10、求坡角B，坝高 AE 和坝底宽 BC 各是多少？分析：（学生独立完成，相互评价，相互帮助，教师引导）分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知 求B、AE、BC此题实质转化为解直角三角形的问题五 课堂小结： (1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形形六 课后作业开放探究题某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1 号救生员在岸边 A 点看到海中的 B 点有人求救，便立即向前跑 300米到离 B 点最近的
11、 D 点，再跳入海中游到 B 点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是 6 米/秒，在水中游泳的速度都是 2 米/秒，BAD=45(1)请问 1 号救生员的做法是否合理？(2)若 2 号救生员从 A 跑到 C，再跳入海中游到 B 点救助，且BCD=65，请问谁先到达点 B？(所有数据精确到 0.1，sin650.9，cos650.4， )分析：(1)比较 1 号救生员从点 A 直接游到点 B 所用时间与从点 A 跑到点 D 再游到点 B 的时间即可作出判断(2)分别计算出 1 号救生员、2 号救生员所用时间，再作判断教师点拨：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点 B 的时间是我们探究的核心问题，如果准确求出救生员赶到点 B 所用时间是解决本题的关键七 课后反思本班由于学生基础不好，学生对锐角三角函数的理解还停留在定义层面上，对于非直角三角形中如何应用锐角三角函数解决问题，还存在思路不明晰，解决困难等问题。特别是用锐角三角函数解决实际问题还存在一定困难，数学建模方法模糊。一部分学生对数学学习缺乏积极性，尽管教师在课堂上积极调动学生学习，但是仍有部分学生掌握的不好，不能够利用锐角三角函数的相关知识解决问题，教师应在课下加强辅导。八 板书
