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1、 1反三角函数的图象与性质 简单的三角方程 人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：反三角函数的图象与性质，简单的三角方程。二. 重点、难点：1反 正 弦 函 数 ： 把 ， ， 的 反 函 数 叫 做 反 正 弦 函 数 ， 记 作yx ysin2上为增函数。 arcsin arcsin()arcsinx xx， ， ， 该 函 数 是 奇 函 数 ， 即 ， 且 在 ，1 12.反 余 弦 函 数 ： 把 ， ， 的 反 函 数 叫 做 反 余 弦 函 数 ， 记 作yx y cos0arcosx， ， ， 该 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 ， 有()arcsx； 且 在 ， 上
2、为 减 函 数 。132.反 正 切 函 数 ： 把 ， ， 的 反 函 数 叫 做 反 正 切 函 数 ， 记 作ytg y arctgxRarctgxarctgR， ， 该 函 数 是 奇 函 数 ， 即 ， 且 在 上 为 增 函 数 。()40.反 余 切 函 数 ： 把 ， ， 的 反 函 数 叫 做 反 余 切 函 数 ， 记 作yctgx y rctx， ， 该 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 有agarctxR()， 且 在 上 为 减 函 数 。5. 反三角函数式的恒等式：sin(rc)sin(arco)xxx， ， ， ，1112oa， ， ， ，rcsin()，
3、，2ao， ，0另 外 ： ； ，rcsinarosxarctgxt22注（1）反三角函数是三角函数在主值区间（含有锐角的一个单调区间）上的反函数，它表示三角函数主值区间上的角。（2）解三角方程时常用反三角函数表示角。 2（3）注意反三角函数的三角运算，以及三角函数的反三角运算，这就需要熟练掌握以上三角恒等式。6. 简单的三角方程：（1）应掌握最简单的三角方程的解法，即形如 sinx=a，cosx=a，tgx=a，ctgx=a 的方程的解法，主要借助了图象或三角函数线先确定一个周期上的角的代表，而后利用该函数的周期性特点，再写出符合方程的所有角。（2）对于比较复杂的三角方程，通过换元，因式分解
4、，齐次化切等方法可转化为一元二次方程求解，最终转化为最简单的三角方程。三. 例题选讲：例 1. 函 数 ， ， 的 反 函 数 为 （ ）yxsin23A.arci， ，1Byxsn， ，C.arci， ，Dyxs， ，1分析与解：Q23xx， ， 需 把 角 转 化 至 主 值 区 间 。2xy， 又 sin()si由 反 正 弦 函 数 定 义 ， 得 arcxyyarcsi， 又 由 已 知 得 1所 求 反 函 数 为 ， ，xarcsin例 2. 直 线 且 的 倾 斜 角 为 （ ）bxyb()0AarctgBrctg.().CDab分析与解：由 直 线 方 程 ， 易 得 直 线
5、 的 斜 率 k由 且 ， 知 ， 即abktga000 3又 Q02注 意 到 ， ， 即 角 不 在 的 主 值 区 间 上()ytgx但 ， （ ， ）且 tgtgtba()()由 反 正 切 函 数 的 定 义 ， 得 rctg()arctbt()故选（C）。例 3. 若一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角为（ ）AB.arcos.arcsin512512CD.arcos.arcsin152152分析与解：BCA中 ， 设 ， 设 为 最 小 内 角 ， 则 依 已 知 ， 得90osini()sinA， ， 成 等 比 数 列 。cosin2 2o A即即 ， 解
6、得sinii21015注 意 到 |i|sinA52QA（ ， ） 由 反 正 弦 函 数 定 义 ， 得02 512arcsin.故选（B）。例 4. 函 数 ， ， 的 图 象 为 （ ）yxarcos()2 42 2 - - O O -2 （ A） （ B） 1 1 -2 -2 O 2 O 2 -1 （ C） （ D） 分析与解：解 析 式 可 化 简 为 ， ， ，yxarcos()02即 ， ， ， 显 然 其 图 象 应 为 （ ）yx A02例 5. 函 数 ， ， 的 值 域 为 （ ）yxarcos(in)()32AB. .65056， ，CD. .3223， ，分析与解：欲
7、 求 函 数 值 域 ， 需 先 求 ， ， 的 值 域 。uxsin()23 5Q3231321xxu， ， 即sin而 在 ， 上 为 减 函 数yuarcos1()rcsaros21即 ， 故 选 （ ）056yB例 6. 使 成 立 的 的 取 值 范 围 为 （ ）arcsinrosxxAB. .0221， ，CD. .10， ，分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求 x 的取值范围，故需把 x 从反三角函数式中分离出来，为此只需对 arcsinx，arccosx 同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。若 ， 则 ， ， 而 ，xxx0202arcsi
8、narcos此 时 不 成 立 ， 故io若 ， 则 ， ， ，xxx00202arcsinarcos而 在 区 间 ， 上 为 增 函 数yi又 arcsinrosin(arcs)in(arcos)xxx即 ， 解 不 等 式 ， 得122|又 ， 故 选 （ ）01xxB例 7. 若 ， 则 （ ）22arcsino()arcosin() 6ABCD.222分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。arcsino()arcsin()arcsin()ioioiarcos()(),22原 式 ， 故 选 （ ）A例 8. 求值：（ ） （ ）1235213s
9、inarci()(arcos)tg分析： ri() rin()sin5表 示 ， 上 的 角 ， 若 设 ， 则 易 得问题的关键是能352， 原 题 即 是 求 的 值 ， 这 就 转 化 为 早 已 熟 悉 的 三 角 求 值 问 题 ， 解 决 此 类sin认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。解： （ ） 设 ， 则13535arci()sinQ2142， ， oisinsic()35即 iari()23524（ ） 设 ， 则1313rcoscosQ02， intg21132cosin 7即 tg1232arcos例 9. 解 方 程 412insicoxx分析一：
10、 辅助角化积的结构，若 想 把 降 次 ， 则 对 逆 用 二 倍 角 正 弦 公 式 ， 可 转 化 为sinc2x进一步可化为一个函数式的形式。解一： 原 方 程 化 为 411coix即 sincs2x521()artgsin25xctartgkarsin或225xct kZrci（ ）kartg1rsin或 （ ）xct kZ2125arci分析二：若注意到 1=sin2x+cos2x，及方程各项均为二次式（齐次）可考虑齐次化切的变形，转化为以 tgx为未知数的方程。解二： 原 方 程 化 为 302sinicosxQcosx02， 方 程 两 边 同 除 以 ， 得321tgtx3或
11、kxkarctgkZ41或 ， （ ）例 10. 设 ， 是 方 程 的 二 根 ， 且 ，arctgx122 1540sino 8arctgx2， 求 的 值 。解： Qx12540， 是 方 程 的 二 根sincox1212504sinco,中 一 正 一 负 ， 且 正 根 绝 对 值 大 于 负 根 绝 对 值02由 ， 得tgaxttg1254sincotgtgtg()sincosic15145100【模拟试题】一. 选择题：12cos函 数 ， ， 的 反 函 数 为 （ ）yxA.ar， ，1Byx.arcos， ，1Cyxcsin52， ， Din32， ，33.araros
12、若 ， ， 则 （ ）AB.C.无 法 确 定 其 大 小 关 系31.arcsinrs()若 ， 则 （ ）xxD.1322342.arcsin(o)()函 数 ， ， 的 值 域 为 （ ）yxAB.().33， ， CD. .()（ ， ） ，3223 950102. sin设 （ ， ） ， 则 在 ， 内 使 的 的 取 值 范 围 为 （ ）axaArcsin， Ba.rcirc， Ca.i， Da.sinsin， 2二. 填空题：63240直 线 的 倾 斜 角 为 。 （ 用 反 正 切 表 示 ）xy71.arcos()arcos若 ， 则 的 取 值 范 围 为 。x82.
13、in函 数 的 定 义 域 为 ， 值 域 为 。y9302cs方 程 在 （ ， ） 内 的 解 为 。x104.ari()。三. 解答题：328102sini解 方 程 x围。122.cos若 方 程 在 （ ， ） 上 有 相 异 而 解 ， 求 实 数 的 取 值 范mm 10【试题答案】一. 选择题1. D 2. A 3. C 4. B 5. B提示： 120. cos()cosxxxxy， ， ， 且由 反 余 弦 函 数 定 义 ， 得 yar)ar2另 外 ， 由 ， 得sin()cosrcsinxxy323反 函 数 解 析 式 为 或yyx2ara,其 中 ，x12.欲 比 较 两 反 三 角 函 数 值 的 大 小 ， 可 先 比 较 其 正 弦 值 大 小sinsi ()sin()3230202， 又 、 ， 在 ， 上
