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1、勾股定理的逆定理 教学设计课时安排3 课时第一课时 教学设计思路本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方） 从而发现画出的三角形是直角三角形猜想如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题 2，把命题2 的条件、结论与上节命题 1 的条件、结论作比较，引出逆命题的概念教学目标知识与技能1研究直角三角形的判别条件；2熟记一些勾股数；3研究勾股定理的逆定理的探究方法。过程与方法用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想。情感态度与价值观1通过对 Rt 判别条件
2、的研究，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神。2通过介绍有关历史资料，激发解决问题的愿望。教学重点和难点教学重点：探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系。教学难点：归纳、猜想出命题 2 的结论。教学方法启发引导、分组讨论教学媒体多媒体课件演示。教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课（1）总结直角三角形有哪些性质。（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力。学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆。（1）直角三角形有如下性质：有一个角是直角；两个锐角互余；两直
3、角边的平方和等于斜边的平方；在含30角的直角三角形中，30 的角所对的直角边是斜边的一半。（2）有一个内角是 90，那么这个三角形就为直角三角形大家思考一下还有没有其他的方法来说明一个三角形是直角三角形呢？前面我们学习了勾股定理，可不可以用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？（二）讲授新课活动 1问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5有下面的关系“32+42=52”那么围成的三角
4、形是直角三角形。大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？再画画看，如果三角形的三边分别为 2.5 cm、6 cm、6.5 cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 4 cm、7.5cm、8.5 cm再试一试。让学生在小组内共同合作，协手完成此活动。用尺规作图的方法作出三角形，经过测量后，发现以上两组数组成的三角形是直角三角形，而且三边满足 a2+b2=c2。我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动 2下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c。5，12，13；7，2
5、4，25；8，15，17。（1）这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生进一步以小组为单位按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论。从而得出一个命题：命题 2 如果三角形的三边长：a，b，c 满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角。直至科技发达的今天人类已跨入 21 世纪建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“ 三四五放线法”。“三四五放线法” 是一种古老的归方操作。所谓“ 归方”就是“ 做成：直角”譬如建造
6、房屋，房角般总是成 90，怎样确定房角的纵横两线呢？ 如右图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出 A 点，再由一人拿 9 尺处。把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线。建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角。满足 a2b 2c 2 的三个正整数，称为勾股数。如 3，4，5；5，12，13活动 3问题：命题
7、1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2。命题 2 如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。它们的题设和结论各有何关系？学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题，得出命题和逆命题的概念。教师认真倾听学生的分析。教师在本活动中应重点关注学生；能否发现互逆命题的题没和结论之间的关系。能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题。（三）课时小结问题：你对本节内容有哪些认识？教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形。（四）板书设计勾股定理的逆定理（一）2互逆命题、
8、原命题、逆命题。第二课时教学设计思路本节主要学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题 2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。教学目标知识与技能1说出证明勾股定理逆定理的方法。2叙述逆定理，互逆定理的概念。过程与方法1经历证明勾股定理逆定理的过程，发展逻辑思维能力和空间想象能力。2经历互为逆定理的讨论，树立严谨的治学态度和实事求是求学精神。情感态度与价值观1经历探索勾股定理逆定理证明的过程，树立克服困难的勇气和坚强的意志。2树立与人合作、交流的团队意识。教学重点和难点
9、教学重点：勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念。教学难点：互逆定理的概念。教学方法合作探究教学媒体多媒体课件演示。教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_（填序号） 能构成直角三角形的是_3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，24帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件。能构成三角形的是：；能构成直角三角形的是；（二）讲授新课活动 1命题 2 正确吗？如何证明呢？让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路。师： ABC 的三边长 a，b， c 满足 a2+b2=c2，如果
10、 ABC 是直角三角形，它应与直角边是 a，b 的直角三角形全等实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 ，使 （如下图）把画好的ABC,ACb.90oABC剪下，放在 ABC 上，它们重合吗？生 我们所画的 Rt ， 又因为 c2=a2+b2，所以 即ABC22ab,2ABc,。ABc和 三边对应相等，所以两个三角形全等， 为C C90oABC直角三角形。即命题 2 是正确的。活动 2当我们证明了命题 2 是正确的，那么命题就成为一个定理由于命题 1 证明正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 l 的逆命题，在此我们就称定理 2 是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理。
11、师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？生 不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“ 如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立。师 你还能举出类似的例子吗？生 例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等。逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等。显示原命题成立，而逆命题不成立。活动 3练习：1如果三条线段长 a，b，c 满足 a2=c2b 2。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等。（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。（3）全等三角形的对应角相等。（4）在角的平分线上的点到角的
12、两边的距离相等。进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力。（三）巩固提高例 1个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中 和 都应为直角工ADBC人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？例 2 （1）判断题以 a=10， b=8，c=6 为边组成的三角形是不是直角三角形。解：因为 a2+b2=100+64=164 c2，即 所以由 a，b， c 不能组成直角三角形。bc请问：上述解法对吗？为什么？（2）已知：在 中，AB=13cm ，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm 。ABC求证：AB=AC。这是
13、利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。例 1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子。解：在 中， 所以 是直角三角形。ABC2 2D9165BD,A是直角。在 中， 所以 是直角三角形。D2 243C,是直角。因此这个零件符合要求。例 2：（1）解：上述解法是不对的因为a=10，b=8，c=6 ，b 2+c2=64+36=100=102=a2，即 b2+c2=a2。所以由 a，b，c 组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知 a，b，c 可构成直角三角形，其中 a 是斜边， b，c
14、是两直角边。评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和。（2）证明：根据题意，画出图形 AB=13cm，BC=10cm 。AD 是 BC 边上的中线 BD=CD=5cm ，在 中 AD=12cm ABD，BD=5cm，AB=13cm，AB 2=169，AD 2+BD2=122+52=169。所以 AB2=AD2+BD2。则 。ADB90.C1801809oooo在 Rt 中，ADC222CD153.所以 。B13cm（四）课时小结你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用熟记几组勾
15、股数 。（五）板书设计勾股定理的逆定理（二）1勾股定理的逆定理的证明构造 Rt ，使两直角边为 a，b， ，从而得斜边 ，得到ABCC90oABc ，所以 为直角三角形。 ,ABo2巩固提高第三课时教学设计思路本节进一步学习勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，经历将实际问题转化为数学模型的过程，给学生充分交流的时间和空间，学会自主学习。教学目标知识与技能能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题。过程与方法1经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，发展应用意识。2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展实践能力和创新精神。情感态度与价值观1在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。2在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯。教学重点和难点教学重点：运用勾股定理的逆定理解决实际问题。教学难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题。教学方法合作探究、小组讨论教学媒体多媒体课件演示。教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课问题 1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？问题 2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的 AD 边和 BC
