《叙述并证明余弦定理(精选多篇)_0》由会员分享，可在线阅读，更多相关《叙述并证明余弦定理(精选多篇)_0（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、叙述并证明余弦定理 (精选多篇)2=b +c -2bccosab =a +c -2accosbc =a +b -2abcosccosc=(a +b -c )/(2ab)cosb=(a +c -b )/(2ac)cosa=(c +b -a )/(2bc)(物理力学方面的平行四边形定则中也会用到)第一余弦定理(任意三角形射影定理)设abc 的三边是 a、 b、c，它们所对的角分别是 a、b、c ，则有a=bcosc+ccosb，b=ccosa+acosc，c=acosb+bcosa。编辑本段余弦定理证明平面向量证法如图，有 a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)cc=(
2、a+b)(a+b)c =aa+2ab+bbc =a +b +2|a|b|cos(-)(以上粗体字符表示向量)又cos(-)=-cosc2=a2+b2-2|a|b|cos(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得 c2=a2+b2-2*a*b*cosc即 cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b同理可证其他，而下面的 cosc=(c2-b2-a2)/2ab 就是将 cosc 移到左边表示一下。平面几何证法在任意abc 中做 adbc.c 所对的边为 c， b 所对的边为 b， a 所对的边为 a则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c根据勾股定理可得：a
3、c2=ad2+dc2b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2b2=c2+a2-2ac*cosbcosb=(c2+a2-b2)/2ac编辑本段作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)判定定理一(两根判别法)：若记 m(c1,c2)为 c 的两值为正根的个数， c1 为 c 的表达式中根号前取加号的值，c2 为 c 的表达
4、式中根号前取减号的值若 m(c1,c2)=2,则有两解若 m(c1,c2)=1,则有一解若 m(c1,c2)=0,则有零解(即无解) 。注意：若 c1 等于 c2 且 c1 或 c2 大于 0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当 absina 时当 ba 且 cosa0(即 a 为锐角)时，则有两解当 ba 且 cosa当 b=a 且 cosa0(即 a 为锐角)时，则有一解当 b=a 且 cosa当 b 二当 a=bsina 时当 cosa0(即 a 为锐角 )时,则有一解当 cosa 三当 a 例如：已知abc 的三边之比为 5：4：3，求最大的内角。解设三角形
5、的三边为 a,b,c 且 a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知：a 为最大的角。由余弦定理cosa=0所以a=90.再如abc 中，ab=2,ac=3,a=60 度，求 bc 之长。解由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2abaccosa=4+9-223cos60=13-12x0.5=13-6=7所以 bc=7.(注：cos60=0.5,可以用计算器算)以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。编辑本段其他从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方
6、，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。第二篇：余弦定理证明过程在abc 中，设bca，ac b，abc，试根据 b，c，a 来表示 a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作 cd 垂直于 ab 于 d，那么在 rtbdc 中，边 a 可利用勾股定理用c、b 表示，而 cd 可在 rtac 中利用边角关系表示，db 可利用abad 转化为 ad，进而在 rtac 内求解。解：过 c
7、作 cdab，垂足为 d，则在 rtcb 中，根据勾股定理可得： a2 c2b2在 rtac 中，c2b2a2又b2（ca ） 2c22caa 2a2b2 a 2c22caa2b2 c22ca 又在 rtac 中，ad bcosa a2b2 c22bccosa 类似地可以证明b2a2c22accosb ，c2 a2b22abcosc第三篇：余弦定理及其证明余弦定理及其证明 1.三角形的正弦定理证明：步骤 1.在锐角abc 中，设三边为 a，b，c。作 chab 垂足为点 hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，在abc 中，b/sinb=c/
8、sinc步骤 2.证明 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：如图，任意三角形 abc,作 abc 的外接圆 o.作直径 bd 交o 于 d.连接 da.因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90 度因为同弧所对的圆周角相等,所以d 等于c.所以 c/sinc=c/sind=bd=2ra/sina=bc/sind=bd=2r类似可证其余两个等式。2.三角形的余弦定理证明：平面几何证法：在任意abc 中做 adbc.c 所对的边为 c， b 所对的边为 b， a 所对的边为 a则有 bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c根据勾股定理可得：ac =a
9、d +dc b =(sinb*c) +(a-cosb*c) b =sin b*c +a +cos b*c -2ac*cosbb =(sin b+cos b)*c -2ac*cosb+a b =c +a -2ac*cosbcosb=(c +a -b )/2ac3在abc 中，ab=c 、bc=a、ca=b则 c =a +b -2ab*cosca =b +c -2bc*cosab =a +c -2ac*cosb下面在锐角中证明第一个等式，在钝角 中证明以此类推。过 a 作 adbc 于 d，则 bd+cd=a由勾股定理得：c =(ad) +(bd) ，(ad) =b -(cd) 所以 c =(ad
10、) -(cd) +b =(a-cd) -(cd) +b =a -2a*cd+(cd) -(cd) +b =a +b -2a*cd因为 cosc=cd/b所以 cd=b*cosc所以 c =a +b -2ab*cosc题目中 表示平方。2谈正、余弦定理的多种证法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法.人教 a 版教材数学(必修 5)是用向量的数量积给出证明的，如是在证明正弦定理时用到作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受.本文试图通过运用多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理，进一步体会向
11、量的巧妙应用和数学中“数” 与“形”的完美结合.定理：在abc 中， ab=c,ac=b,bc=a,则(1)(正弦定理)=;(2)(余弦定理)c2=a2+b2-2abcosc,b2=a2+c2-2accosb,a2=b2+c2-2bccosa.一、正弦定理的证明证法一：如图 1，设 ad、be 、cf 分别是abc 的三条高。则有ad=bsinbca，be=csincab，cf=asinabc。所以 sabc=abcsinbca=bcsincab=casin abc.证法二：如图 1，设 ad、be 、cf 分别是abc 的 3 条高。则有ad=bsinbca=csinabc，(请勿抄袭好范文
12、 网：)be=asinbca=csincab 。证法三：如图 2，设 cd=2r 是abc 的外接圆的直径，则dac=90，abc=adc 。证法四：如图 3，设单位向量 j 与向量 ac 垂直。因为 ab=ac+cb，所以 jab=j(ac+cb)=jac+jcb.因为 jac=0，jcb=|j|cb|cos(90-c)=asinc，jab=|j|ab|cos(90-a)=csina.二、余弦定理的证明法一：在abc 中，已知，求 c。过 a 作，在 rt 中， ，法二：，即：法三：先证明如下等式：证明：故式成立，再由正弦定理变形，得结合、有即.同理可证.三、正余弦定理的统一证明法一：证明：
13、建立如下图所示的直角坐标系，则 a=(0，0) 、b=(c,0)，又由任意角三角函数的定义可得：c=(bcosa,bsina)，以 ab、bc 为邻边作平行四边形 abcc，则bac=- b，c(acos(-b),asin(-b)=c(-acosb,asinb).根据向量的运算：=(-acosb,asinb)，=-=(bcosa-c,bsina),(1)由 =：得asinb=bsina,即=.同理可得：=.=.(2)由 =(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，又|=a,a2=b2+c2-2bccosa.同理：c2=a2+b2-2abcosc;b2=a2+c2-2
14、accosb.法二：如图 5，,设轴、轴方向上的单位向量分别为、 ，将上式的两边分别与、作数量积，可知，即将(1) 式改写为化简得 b2-a2-c2=-2accosb.即 b2=a2+c2-2accosb.(4)第四篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意abc 中,作 adbc.c 对边为 c，b 对边为 b，a 对边为 abd=cosb*c ，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac=ad+dcb=(sinb*c)+(a-cosb*c)b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosbb=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+ab=c+a-2ac*cos
15、b所以，cosb=(c+a-b)/2ac2如右图，在 abc 中，三内角 a、b、c 所对的边分别是 a、b、c.以 a为原点，ac 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，于是 c 点坐标是(b， 0)，由三角函数的定义得 b 点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将 cb 平移到起点为原点 a，则 ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知 d 点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即 d 点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc) 而 ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得 asina=csinc，同理可证 asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得 acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即 a2-a2sin2
