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1、高中数学论文186422410 5 5C3C2C1MNP春风化物，复习亦美例谈高考二轮复习中的对称思想【摘要】本文分代数和几何两个方面探讨了对称性在高考二轮复习中的应用，涉及了函数的对称性、方程的对偶式、不等式的 对称式，几何中运用对称性求最值、解决对称点、中点弦等问题，旨在 对对称性在高考中的应用作一个初步的探究。【关键词】对称美，零点，反函数，对称式，基本不等式，中点弦对称美是数学美的特征之一，教师如果能在教学中有意识地引导学生探索、感悟对称之美，就能让学生能有意识地运用对称思想去思维，主动地用对称的眼光思考数学学科，不仅在解题时能找到简洁漂亮的解法，在对数学的理解上也能愈加透彻和深入。研
2、究对称在高中数学教学中的意义。（一）渗透美学教育，提高学习兴趣不少学生认为学习数学是一种负担，是复杂繁琐的推理、枯燥无味的计算。到了高三早陷入了厌恶数学的泥沼，复习没有主动性，作业不会便放弃。只有让学生感受到数学的魅力，体验到数学的简捷、对称、抽象之美，他们才能提高对数学的兴趣，从而内化为学习的动力。 （二）注重解题技巧，优化解题策略学生做题时喜欢按常理出牌，会选择常见的方法去解题，对于运算量大的题，他们可能会犯各种各样的错误。如果教师在平时能够引导学生注重审题，找到解决问题的最优方案后再下笔，往往能够起到事半功倍的作用。具有对称性的问题，从其结构出发，只要用心思考，往往不难发现一些简单的解题
3、方法对称思想不仅仅是丰富解题技巧，在 2013 年高考对称思想的考查更是体现在多个省市的考卷中，考查的面也很广，由于对称问题缺乏系统性，又在高中数学的各个章节几乎都有所涉及，教师究竟该如何在高考复习中有系统地渗透对称思想，这是值得探究的一个方向。那就先让我们从两例 2013 年高考试题谈起，从中寻找二轮复习中对称思想需要把握的考向。例 1(2013 重庆，理 7)已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4)29， M， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为()。A B 547C D62解析：圆 C1，
4、C2的圆心分别为 C1， C2，由题意知| PM| PC1|1，| PN| PC2|3，| PM| PN| PC1| PC2|4，又 C1关于 x 轴对称的点为 C3(2，3)，所以| PC1| PC2|4 的最小值为|C3C2|4 ，254高中数学论文2故选 A例 2（2013 上海，春季理 31）已知真命题:“函数 ()yfx的图像关于点 ( )Pab、成中心对称图形”的充要条件为“函数 ()yfxab 是奇函数 ”。(1)将函数 32()gx的图像向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g图像对称中心的坐标;(2)求函数 2(
5、)lo4hx 图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数 ()yf的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b,使得函数 ab 是偶函数” 。判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)。解析：(1)平移后图像对应的函数解析式为 32(1)()yx, 整理得 3yx, 由于函数 3yx是奇函数, 函数 )g图像对称中心的坐标是 1 )， 。(2)设 2()log4h的对称中心为 ( Pab， ,由题设知函数 (hxab是奇函数。设 ,fxab则 2)()lo4(xfx,即 2)log4fx。
6、 由不等式 04的解集关于原点对称,得 2a。此时 2()()log (2 )xfb， ， . 任取 (,)x,由 ()0fxf得 1b, 所以函数 2()l4hxx图像对称中心的坐标是 (2 1)， 。(3)此命题是假命题. 举反例说明:函数 ()f的图像关于直线 yx成轴对称图像 ,但是对任意实数 a和 b,函数 yfxab,即 yab总不是偶函数。修改后的真命题: “函数 ()fx的图像关于直线 a成轴对称图像”的充要条件是“函数 ()f是偶函数。评述：以上两题分别运用了几何图形和函数图象的对称性来解决相关问题，对称在解题中的巧妙运用，一方面帮助学生们快速、准确地解答相关习题；另一方面，
7、让他们感到数学原来如此简单，如此优美，继而提高他们复习中的积极性。对称是一个数学概念，学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等等，而对称性问题则是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或者图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。高中数学论文3对称更是一种思想方法，在代数、几何中恰当的运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。下面，本文将结合二轮复习中的冲刺
8、模拟题，从不同角度整合高考中常见的几类对称问题，力求让学生在复习中能够从对称的美感出发，在谈“数”色变的枯燥解题中感受数学的魅力。一、代数中的对称思想1.1 以函数为载体的对称问题函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质。 “借助形的对称分析量的对称”这句话意味着数形结合思想的运用，很多蕴含了数形结合思想的考题都可以通过对称性来见微知著。例（2014 创新冲刺卷一，理 16）已知函数 是偶函数，且)(Rxf，当 时， ，则方程 在区间-10,10上)2()(xff2,0f1)( xf1(的解的个数是_。108642246810 5 5 10解析：由 可知 的图像关于
9、 对称，式子也可写成)()2(xfff2x，根据偶函数的定义 ，从而推出4)xf )4(),()xff有是周期为 4 的函数。画出 在 时的图像。设 ，可知这是一( )(f,01g个偶函数，图像关于 y 轴对称，在同一坐标系中作图，通过观察轴右侧图像，结合对称性可知答案为 9 个。函数与对称有关的性质可以从自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨。函数自身的对称性分为中心对称以及轴对称，中心对称可借助定理：函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2ax) = 2b。轴对称可借助定理：函数 y = f (x)的图像关于直线 x =
10、a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax)。上例正考查了函数自身的对称性。对于 f (x)的探究，是把奇偶性、对称性、周期性这三大性质进行整合的过程。根据其内容上的特点，课堂上可以让学生自行推导如下定理：若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。高中数学论文4若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。
11、若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b 成轴对称 （ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。这种融知识性、思想性、方法性、综合性于一体的复习教学，对形成相对完整的“双基”教学模块是比较有效的。在 2014 高考复习冲刺卷中，数次出现此类与函数零点、方程的根相关的问题，恰恰都和函数的对称性有着千丝万缕的联系，教师在复习中可加入下列题组：练习 1（2014 创新冲刺卷四，文 17）方程 在-1,3上有四个不同的根1sinx，则 _。432,x4321x解析：设 两者都关于点（1,0）,)(,i)(gf对称，设 ，根
12、据对称性知答案为 4。4321xx练习 2（2014 创新冲刺卷四，理 7）函数 ，若实数23)(,sin()( xgf满足 ，且 ，则下列式子成立的是（ ）31,x)(xgf321x0)()(.0)(. 3211 xfhgDfCBA解析：两个函数均关于 成中心对称图形，且 ，答案为 D。,322不同函数对称性的探讨往往从以下定理出发，定理 1：函数 y = f (x)与 y = 2bf (2ax)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。定理 2：函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (ay)的图像关
13、于直线 x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y + a)的图像关于直线 xy = a 成轴对称。通过对试题的研究，笔者发现，课本中一笔带过的反函数对称性问题又再次重现。反函数问题就是一类特殊的不同函数对称问题。例（2014 创新冲刺卷二，文 14）设直线 与直线 关于直线4bx8对称，则 _。答案为-4。xyab例（2014 创新冲刺卷四，理 8）点 P 在函数 图像上，点 Q 在函数 图像xeyxlny上，则 最小值为（ ）PQ 4.2.2. DCBA解析：两函数互为反函数，图像关于直线 y=x 对称，最终转化为与 y=x 平行的两切线距离86422468
14、1010 5 5 10864224681010 5 5 10高中数学论文5问题求解。答案为 A。评述：由互为反函数的函数y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称可知，若点（a，b）在函数y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在其反函数y=f -1(x)的图象上，反之亦然。1.2 方程中的对偶式在已知函数类型的情况下，往往可以利用待定系数法或者根据函数的相关性质求出函数的解析式，这里不加赘述但是，当函数的类型未知，又如何来求函数的解析式呢？例：已知函数 满足 ，求函数 的解析式。)(xf xff2)(2)(xf解析：本题函数的类型未知，因而无法设出函数的解析式进而利用待定系数法
15、求解，那如何下手呢？要用 表示 ，可以把 和 看成两个未知数，把 看成已知)(f)(f)f数，那就需要两个方程才可以解出 那如何构造两个方程同时不增加未知数的个数呢？x想到构造它的对偶式，用 代替式中的 ，得 xfxf2(由、两式，可解得 f231)(此类题型经常把 与 、 相关，构造对偶式借助方程组求解。xff)(xf1.3 不等式中的对称式有关函数图像的对称问题我们已谈得比较多，而代数形态上的对称却很少涉及，在客观小题的训练中就缺少了一种巧妙的好方法。如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解，往往使得解答题的答题时间变得很紧，得不偿失。我们可以在课堂中让学生了解对称式（把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变称这个多项式为对称式） 。对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，一些对称式的代数问题，常用最简对称式 a+b、ab 表示将问题解决。我们不妨仔细观察最熟悉的基本不等式中“和定积最大”问题：已知正数， 满足ab，求 的最大值。1ba如果将 换成 ，将 换成 ，等式并没有发生变化，所求量 也没有发生变化，我baab们可以认为， 和 的地位是相同的，它们是广义的对称关系，那么显然不能对 和 中的任何一个有所偏袒，因而它们应该相
