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1、运用“变式教学” 构建探究型课堂【摘 要】 数学探究学习 是指学生围绕某个数学问题自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察、分析数学事实，提出有意义的数学问题、猜测探求适当的数学结论或规律，给出解释、证明。那么，如何构建探究型课堂呢？笔者认为运用“变式教学”是个好方法。本文拟就余弦定理为载体运用变式教学理论谈谈构建探究型课堂的体会，供参考。【关键词】变式、探究、课堂、教学 “变式教学”理论所谓变式教学，是指有目的、有计划地对教学内容进行适当的变通，如用不同形式的直观材料或事例说明概念、命题等的本质属性，对非本质属性进行不同角度、不同层面、不同背景、不同情形变化，以突出它们的本质特征，从而揭示不
2、同知识点之间内在联系的一种教学方法。变式教学在中国由来已久,是中国数学课堂教学的特征之一。变式教学一般有“概念性变式”和“过程性变式”两种基本变式。 “概念性变式”是利用概念变式和非概念变式揭示数学概念的本质属性和非本质属性，使学生获得对数学概念的多角度理解，进而建立新概念和已有概念的本质联系。 “过程性变式”是通过变式有层次的展示知识的发生，发展，形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，使学生抓住问题的本质，加深对问题的理解，是一个有意义学习的过程。因此，变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式，在高中数学教学中运用“变式教学”是进行探究性学习的一种有效模式。它是借鉴科学发
3、明创造的思想方法，通过对数学问题进行多角度、多方面的有价值的变式探索研究，有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，使所有知识点融会贯通 。从中不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质。本文拟就“余弦定理”的教学为载体，探讨如何运用“变式教学”的基本理论，设计适当的探究问题，有层次的推进课堂教学。在探究问题的设计过程中怎样通过调整合适的距离，以最大程度的引发学生的探究。其教学设计过程如下： “变式”寓“余弦定理”的教学 设计教材：全日制普通高级中学教科书人教社教材版 必修（）1.1.2
4、 余弦定理2.1 创设问题情境，激发学生探究性学 习的动力。问题 1：如图，在ABC 中, ,能求出第三边吗？09,32Cba若 ，第三边定了吗？若定了，如何求第三边？OC60若 呢？也能求第三边吗？012C学生：根据作图能确定第三条边，且唯一。问题 2：既然第三边 可以由 及 唯一确定，那么对于这类问题是否也像前面cba,C正弦定理一样存在某个定理或公式，可以由 及 表示 ？若有，给出这式子；若不,c可以，说明理由。设计说明：问题是思维的起点。问题 1 是在 这种特殊情况下作了变化，提出09在一般的情况下是否也有类似的性质，体现了从特殊到一般的变式思想。采用这种变式，既使学生复习了原有知识，
5、为下面定理的学习作好了准备，又激发了学生的好奇心，学习的积极性也随之高涨。学生自己动手画图，能促使学生尽快地进入学习状态，比单纯的“提问回答”这种复习模式，对问题的思考更加深入。这种变式，为学生学习新知识进行了有效的铺垫，又能让学生快速地投入学习。问题 2 是对问题 1 的逆向思维过程，是学习定理的一个关键之处。在教学设计中，教师没有直接告诉学生的确有这样一个定理，它怎么样怎么样。而是设置了问题 2，激发学生进行自主探究，发现定理。并且问题是以问题 1 为基础的，不那么突兀，解决起来要相对容易些。正是通过这种变式，教师拉近了新知识与旧知识之间的距离，但又具有一定的挑战性,能使学生在已有知识的基
6、础经过探究发现定理。2.2 探究、猜想公式教师用多媒体展示，在ABC 中, 长度不变，把 绕点 转动， 的长度BCABCAB随 的变化而变化：当 时， ：当 时， ；C0922bac0922bac当 时， 。0922bac让学生观察、思考、讨论。问题 1：边 与 能否用函数表示？因为边 的长度随 的变化而变化，猜想边 与 应该能用函数表示，不妨设为cCcCfba22问题 2： 是 的哪种三角函数？能否由特殊值发现？?学生：当 时， ；当 时， ；当09C0f 09C0f时， 。猜想： 与 有余弦关系，且0f Ccos问题 3： 就等于 吗？还与其它量有关系吗？能否用特殊三角形进行检验cos猜想
7、？设计说明：没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现，可以毫不夸大的说，任何一个数学上的定理都是经过猜想建立的。此处，为了发现、猜想定理，设计成了 3 个问题。问题是针对多媒体的展示结果，把边 的长度与 的变化抽象为函数，指明了猜cC想的方向，给出了关键性的一步。问题 2 是在问题 1 提示这是函数关系后进一步猜想是什么函数，熟悉吗？这样，学生就不会漫无目的的乱猜，他们会根据现有的条件作合理的、有目标的猜想。学生也明白将未知转化为已知是解决数学问题的通法，探究热情又一次高涨。问题 3 就是将整个猜想细化，逐步的完善猜想。通过这些有层次的问题的设计，逐步清除初始状态之间的差异，得到猜想。这种以问题为线
8、索的变式教学，既有序的推进了课堂教学，又引发了学生的探究活动，学生的想象力、创造力充分被激发，思维的质和量显著提高，情感得到了充分的体验。在新课程改革背景下，如何通过有层次的问题设计引发学生的主动思考，是我们教师值得关注的问题。2.3 证明定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的积的两倍。即 Abcaos22 Bacbos22Cbccos2问题 1：公式发现了，可这只是个猜想，能经得起考验吗？如何证明？能否将要证明的内容能化为熟悉的内容？不管是钝角、直角还是锐角，都可统一？学生：联想到三角函数定义。将 放在坐标系中,如图,ABC利用两点之间距离公式可求。
9、,bAC,a点坐标 ，点 B 的坐标 ，sinC co0,a则 CabCbB cos2sin)( 2222 问题 2：还有其它证明方法吗？公式中的 令你想到了什么？学过此类公式吗？bco学生能想到向量的数量积公式，由长度能想到向量的模，于是： CabCABCABABc cos2cos2 22 222 设计说明：余弦定理的证明还是有点困难的，如果直接了当问“怎么证” ，基本就是句废话。因此，问题 1 设计了一连串的问题，由问题指出了证明的方向，降低了难度，让学生能联系到所学的知识，得出证明。问题 2 则是希望能用多种方法证明定理，属一题多解类型。变式教学中的一题多解是发散思维在数学教学中的一个重
10、要体现。一题多解要求学生从不同的思维角度去思考问题，获得同一问题的多种解决方法，并对不同的解决方法xyb进行比较，使学生的思路开阔，养成多角度思考问题的习惯，这将有助于学生发散思维能力的培养。2.分析结构，应用定理。问题：观察余弦定理，它的结构有什么特点？适合解哪些三角形？学生观察、分析、交流，教师总结：（1）余弦定理适合于所有的三角形，勾股定理只是它的特例。 （2）余弦定理非常对称，是 及对应角的轮换式。 （3）它的推论cba,也很对称和有用。接着分析运用定理及其推论可解两类三角形，学abcCcos生自己解决教科书例 3、例 4。设计说明：在教学中，通过对这个问题的分析讨论，加深对定理的认识
11、。它是适合所有三角形的，勾股定理是它的特例，也可说余弦定理是勾股定理的推广。这样促使学生新旧知识的联结，完善知识结构。变式教学可以探究数学知识的实质和相互之间的联系，认识和理解其内涵，使学生不迷恋于问题的表象。这些有助于培养学生思维的深刻性。2.5 归纳小结引导学生进行小结：通过余弦定理的发现和证明，进一步了解向量的工具性作用，明确利用余弦定理能够解决两类三角形问题：已知三边求任意角；已知两边及夹角解三角形。6作业层次一：教材习题 A 组 2 4层次二：在 中，已知 ，求 。BC045,2,3BbacCA及, 对“变式教学”的几点思考3.1 要把握好探究问题的“潜在距离”在变式教学中，如何设置
12、作为教学铺垫的变式，使其与前后知识之间建立适当的变式铺垫。为此，顾泠沅等研究者引入了“潜在距离”的概念，以此衡量探究问题与学生已有知识之间的接近程度。研究表明，当潜在距离较小时，适宜学生理解掌握；当潜在距离较大时，有利激发学生探究能力。变式教学中探究问题的“潜在距离”的度要把握好，如果问题的“潜在距离”太小，学生的思维空间有限，即使很好的完成了自己的任务，也只是按照老师的旨意在做，不能发挥学生的自主思考能力，无利学生思维培养。而若“潜在距离”太大，虽然有利学生进行探究，但可能由于新旧知识之间相隔太远，使学生不知从何思考起，不能达到预期的探究效果，甚至造成教学时间的浪费，导致教学的低效率。因此，
13、在变式教学中，探究问题的“潜在距离”要把握得当，要结合教学内容和学生实际，作好合适的铺垫，以最大效果的发挥学生的探究能力。3.2 变式教学应符合学生的认知规律， 变式的难度和数量应 适度变式教学必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，不能为了变而求变。在变式的过程中，问题的难度应该循序渐进，应靠近学生现有的知识水平，让学生通过适度的努力可以达到解决问题的目的。例如，在本课猜想定理的过程中，学生在老师的引导下猜想 与 有函数关系，并进一步确定是余弦关系，并且由特殊值得到公Cf式。让学生通过自己积极的数学体验，得出相应的结论，而不仅仅是一个简单的听老师讲解的过程。相反，难度过大会让学生
14、产生畏难情绪，不仅不利于问题的解决，还会降低学生学习数学的积极性。另外，变式问题不能过多、过滥，否则会使学生陷入新的题海，这样不仅加重了学生学习的负担，还会使学生对数学学习活动产生厌烦情绪。3.3 变式教学应提高学生的参与意识在变式教学活动中，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方应密切配合，相互合作，交流互动。教师应鼓励学生积极参与变式活动，变式过程不能仅由教师来完成。凡是能由学生完成的变式，就应让学生自主完成，有困难的变式可以在教师的引导下完成，这样有助于培养学生提出问题的能力。另外，教师要关注学生的能力的差异，使每个学生在变式活动中得到充分的发展。学生在变式活动中取得的成绩，无论大小，也应给予肯定和鼓励，这样不仅可以让学生感受到获得成功的快乐，锻炼克服困难的意志，还能激发学生学习的积极性，3.4 引入开放性问题，激发学生个性化思考。让学生真正成为课堂的主人，不妨从开放性问题入手。一方面可以活跃学生的思维，另一方面先通过教师的“放” ，发散学生思维，提倡多角度看问题，多渠道解决问题，再通过教师和学生的讨论分析进行“收” ，使不同层次的学生都能学有所获。参考文献鲍建生、黄容金、易凌锋、顾泠沅 变式教学研究 数学教学2003 2普通高中课程标准实验教科书数学必修谢金苗、刘淑珍 变式教学研究性学习的一种模式 中学数学教学参考
