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1、理科 1开始是否i输出 S结束2iS1i1,S北京市西城区 2011 年高三一模试卷数 学（理科） 2011. 4 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合 ， ，则 等于AxZ20BxABI（A） (2,5)（B） 2,5)（C） ,34（D） 3,452下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A） xy（B） 2yx（C） 2yx（D） 3yx3. 设 ， ， ，则3log2al4b5.0c（A） c（B） a（C） cab（D） bac4设向量 ， ，且 ，则 等于(1,sin)(3sin,1
2、)/os2（A） 3（B） （C） 3（D） 35. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为 ，则处应填的数字为（A） 4（B） 5（C） 6（D） 76.已知函数 ， ，则下列结论正确的是xycosinxycosin2（A）两个函数的图象均关于点 成中心对称(,0)4（B）两个函数的图象均关于直线 成中心对称（C）两个函数在区间 上都是单调递增函数(,)（D）两个函数的最小正周期相同7已知曲线 及两点 和 ，其中 .过 ，1:(0)yx1(,0)Ax2(,)210x1A分别作 轴的垂线，交曲线 于 ， 两点，直线 与 轴交于点 ，那2AxCB1B3(,)x么（A） 成等差数列312, （B） 成
3、等比数列312,x理科 2（C） 成等差数列132,x （D） 成等比数列132,x8如图，四面体 的三条棱 两两垂直， , ， 为OABCOCB, OBA3CD四面体 外一点.给出下列命题.不存在点 ,使四面体 有三个面是直角三角形D不存在点 ,使四面体 是正三棱锥存在点 ,使 与 垂直并且相等CAB存在无数个点 ,使点 在四面体 CD的外接球面上O其中真命题的序号是（A） （B） （C） （D）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 在复平面内，复数 对应的点到原点的距离为_.2i110.如图，从圆 外一点 引圆 的切线 和割线 ，已知 ，OPAPB2A，圆心
4、 到 的距离为 ，则圆 的半径为_.4PCBC3O11.已知椭圆 经过点 ，则 _，离心:cos,()2inxyR1(,)2m率 _.e12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_.13.某展室有 9 个展台，现有 件展品需要展出，要求每件展品独自占用3个展台，并且 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的1展出方法有_种；如果进一步要求 件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有_种.14.已知数列 的各项均为正整数，对于 ，有na,321n当 时，1 135,2nnn nkka 为 奇 数为 偶 数 .其 中 为 使 为 奇 数 的 正 整 数， 1a_；1
5、0a若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则 的值为_.*mNnnanap三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）设 中的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 , .ABCBCbc54osB2bPABCOOABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图3443 33理科 3（）当 时，求角 的度数；（）求 面积的最大值.35aAABC16 （本小题满分 13 分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 .1,23p
6、14（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求 的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 ，求 的分布列和数学期望 .XEX17.（本小题满分 13 分）如图, 是边长为 的正方形， 平面 ，ABCD3DEABC， ， 与平面 所成角为EF/F.06()求证： 平面 ；()求二面角 的余弦值；B（）设点 是线段 上一个动点，试确定点MD的位置，使得 平面 ，并证明你的结论./AEF18. （本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 .2(1)axf0a（）求函数 的单调区间；（）若直线 是曲线 的切线，求实数 的值；0xy()yfxa（）设 ，求 在区间 上的最大值.2()ln()
7、gfg1,e（其中 为自然对数的底数）e A B CDFE理科 419. （本小题满分 14 分）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 轴正半轴于点 ，交抛2(0)ypxFyP物线于 两点，其中点 在第一象限.,ABA（）求证：以线段 为直径的圆与 轴相切；Fy（）若 , , ，求 的取值范围.1Pur2Bru1,42220.（本小题满分 13 分）定义 为有限项数列 的波),(21naL1231|naaLna动强度.（）当 时，求 ；()n1210(,)（）若数列 满足 ，求证： ；,abcd)abc(,)(,)abcdb（）设 各项均不相等，且交换数列 中任何相邻两项的位置，都会使数列的n
8、 na波动强度增加，求证：数列 一定是递增数列或递减数列.n北京市西城区 2011 年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A D B C A D理科 5二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 11. ，224153212. 13. ， 14. ； 或160486注：11 题，13 题，14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 1
9、5.（本小题满分 13 分）解：（）因为 ，所以 . 54cosB53sinB2 分因为 ， ，由正弦定理 可得 . 3a2bbAasii 21inA4 分因为 ，所以 是锐角，A所以 . o306 分（）因为 的面积 ， BCacBcS103sin27 分所以当 最大时， 的面积最大.acA因为 ，所以 . acbos22 c58429 分因为 ，所以 ， 2ac85c11 分所以 ， （当 时等号成立） 1010ac12 分所以 面积的最大值为 . ABC313 分16.（本小题满分 13 分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 ，依题意有321,A且 相互独立.1231()
10、,(),(),PAPAp321,（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为理科 6. 312()PA23分（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件 ，则有B ， ()B123) 1()3p5 分所以 ， . 4p7 分（） 的所有可能取值为 . X3,2108 分所以 ，()4P1123)AP123()AP123()A，4()PX123()123()123()，4= . 11(3)123()A42分分布列为：X013P14241412412分所以， . 133()011EX分17.（本小题满分 13 分）()证明： 因为 平面 ，DEABC所以 . 2 分因为 是正方形，ABC所以 ，从而 平
11、面 . 4 分EyBCAEzDFxyBCAEzDFxM理科 7()解：因为 两两垂直，DECA,所以建立空间直角坐标系 如图所示.xyz因为 与平面 所成角为 ，即 ， B0660DBEo5 分所以 .3DE由 可知 ， . A6AF6 分则 ， ， ， ， ，(3,0)(,)(0,36)E(,0)B(,3)C所以 ， ， 6BFur 2ur7 分设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，En(,)xyz0FEurn3602yzx令 ，则 . 6z(4,268 分因为 平面 ，所以 为平面 的法向量， ，ACBDECAurBD(3,0)CAur所以 . 613cos,32urrn9 分因为二面角为锐角
12、，所以二面角 的余弦值为 . DBEF1310 分()解：点 是线段 上一个动点，设 .MBD(,0)Mt则 ，(3,0)Atur因为 平面 ，/EF所以 ， rn11 分即 ，解得 . 4(3)20tt2t12 分此时，点 坐标为 ， ，符合题意. M(,)13BD13 分理科 818. （本小题满分 14 分）解：（） ， （ ） ， 3(2)axf03 分在区间 和 上， ；在区间 上， .(,0)(,)()f(0,2)()0fx所以， 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 . fx,0,24 分（）设切点坐标为 ，则 7 分（1 个方程 10(,)xy0203(1)()axyx分）解得 ， . 01xa8 分（） ，()gln(1)x则 ， xa9 分解 ，得 ，()0g1ea所以，在区间 上， 为递减函数，,)()gx在区间 上， 为递增函数. 1(a
