三次函数的三大性质

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1、1三次函数的三大性质浙江奉化奉港中学 罗永高 315500随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性三次函数 ,)0()(23adcxbaxf(1) 若 ，则 在 上为增函数；02cb)(f,(2) 若 ，则 在 和 上为增函数， 在3x)(1),(2x)(xf上为减函数，其中 .),(21x acbacb3,32221 证明 , = ，cxaf23( )(4142(1) 当 即 时， 在 R 上恒成立， 即 在00b0)(xf )(xf为增函数.),(2) 当 即

2、时，解方程 ，得32ac)(xfacbxbx3,221 或 在 和 上为增函数.0)(f1)(f),1x),(2在 上为减函数.x2x21由上易知以下结论: 三次函数 ,)0()(3adcxbaxf(1) 若 ，则 在 R 上无极值；032acb)(f2(2) 若 ，则 在 R 上有两个极值；且 在 处取得极032acb)(xf )(xf1大值，在 处取得极小值.2x2 根的性质三次函数 )0()(23adcxbaf(1) 若 ，则 恰有一个实根；02cb)(f(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；321x)(xf(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；2ac0)(f0(4) 若 ,且 ，

3、则 有三个不相等的实根 .0b21x)(xf证明 (1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 X 轴只相)(xf )(xfy交一次，即 在 R 上为单调函数或两极值同号，所以 或032acb，且 .032acb0)(21xf(3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 X 轴有两个公共点)(xf )(xfy且其中之一为切点，所以 ，且 .32acb021(4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 X 轴有三个公0)(xf )(xfy共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以f且 . 由上易得以下结论：32acb0)(21xf三次函数 在 上恒正的充要条件是)()(3adcbx

4、f ),m(mx 2),或 且 (mx2) .0mf )(mf2f3 对称性三次函数 的图象关于点)0()(23adcxbaf3对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于)3(,abf)(xfab3直线 对称.x证 1 )3()(3)()( 2323 abfxabcxdcbxf 易知 是奇函数，图象关于原点对称，则 关于点axg)()(23 )(f对称.,bfa， 当 时， 取得最小值，cxxf23)( Q0abx3)(xf显然 图象关于 对称.)(fyab3证 2 设 的图象关于点 对称，任取 图象上点x),(nm)(xfy，则 A 关于 的对称点 也在 图象),(yx),(n)2,xA上 ,

5、dcbxman ()223 )24841()6( 233 mdcbamxaxy )3()248(1223 afndmbadccb由上又可得以下结论：是可导函数，若 的图象关于点 对称，则)(xfy)(xfy),(m图象关于直线 对称.证明 的图象关于 对称，则)(xfy),(nm,2)()nxfxQxffx(li04xfnfnxmffxmf x )(2)(2li)2()2(li)2( 00)li0fx图象关于直线 对称.(xfy若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.)m)(xfy)0,(m证明 图象关于直线 对称，则 ，(xfyx2xf xmffxmf )2()2(li)2( ) 0Q，)()li0ffx， 图象关于点 对称.()2(xff )(xfy)0,(掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.