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1、用心 爱心 专心 121 号编辑 1高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数：（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过
2、程中有两个变量 ，并且对于 在某个范围,xyx内的每一个确定的值，按照某个对应法则 ， 都有惟一确定的值和它对应，那么 就是fyy的函数，记为 ；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。x()yfx；上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合 A 到集合 B 的一个特殊的映射，其特殊性在于集合 A、B 都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C 叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域 C 并不一定等于集合 B，而只能说 C 是 B 的一个子集；（2）三要素：函数是由定
3、义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。2、函数的单调性：用心 爱心 专心 121 号编辑 2（1）定义：对于给定区间上的函数 ，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量()fx的值 ，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是增函数；2）2,x12x12f()fx如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 ，当 ，都有 ，那么1,x112()fxf就说 在这个区间上是减函数；()fx（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5） 为增函数，12()0()fxffx为减函数； 12()0()fxffx
4、（3）函数的周期性：对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域()fxTx内的每一个值时， 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的()fxT()yfx常数 叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，T就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子 对定义域中的每一个值都成立，()(fxTf即对定义域中的任何 ，式子都成立，而不能是“一个 ”或“某些 ”；2）一个函数是周x x期函数，它并不一定就有最小正周期，如： （ 是常数)，显然，对任何一个正数()faT，都有 ；这就是说，任何一个正数都是 的周期，由于正数中不()()fxfxR()fx存
5、在最小的数，所以周期函数 不存在最小正周期。设 是 的周期，那(f T)R么 且 )也一定是 的周期。(kN0k)x3、反函数（1）反函数的意义：一般地，式子 表示 是自变量 的函数，设它的定义域为()yfxyxA，值域为 B、我们从式子 中解出 ，得到式子 。如果对于 在 中的任何()yfx()yC一个值，通过式子 ， 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 就表x ()x示 是自变量 的函数，这样的函数 ，叫做函数 的反函数，记作xy()xy()yfx，即 ，在函数式 中， 表示自变量， 表示函数。1()f1()()xf1fx习惯上，一般用 表示自变量，用 表示函数.为此对调函数式
6、中的字母 ，把y1()xfy,y用心 爱心 专心 121 号编辑 3它改写成 。1） 与 具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇()yfx()yfx1()fx偶性；D、单调性；2） 和 互为反函数，即 或1()fxB；3）求反函数的步骤：A、解出 ；B、交换 ，得1()fxxy,y；C、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直y线 对称；x（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的 ，能推断出 成立的函数才具有反函数；12x12()fxf（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，
7、原函数的值域是反函数的定义域；2） 与 互为反函数，设 的定义域为 A，值域为 C，则有()yf1()f()f， ；1()fxC1xA（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由解出 ；2）交换 ，得 ；3）根据 的值域，写出()yf()y,y1()()xf()yfx的定义域。1x4、幂函数、指数函数、对数函数（1）幂、指数、对数式1）同底数幂的运算性质： ， ， ；(,)mnaQg()(,)mnaQ()()nnabQg2）根式的运算性质： ，当 是偶数时 ，当 是奇数时 ；()n (0)(|)|nan()na3)分数指数幂与根式的关系规定：正分数指数幂 ，(
8、0,.,1)nmanNm且正分数指数幂 ；1n且4)对数及对数的运算性质：定义：如果 且 )，则数 叫做以 为底 N 的对数，记作 ，(0baN1abalogaNb用心 爱心 专心 121 号编辑 4对数恒等式： (a0 且 a1，N0)，logNa对数的性质：（）负数和零没有对数，（） ，（）log10(,1)a；log1(0,)a对数的运算法则：（） ，（）()(,)MNNMaaalogll，（） ，（） ； MlNaaall nlog1lognaNal换底公式： （） ，（）llogba1llab，（） ；1231logll(,2)naaNnLoglmnaab（2）幂函数1）定义：形如
9、( 是常数)的函数叫幂函数；ayx2)幂函数的图像见图：3）幂函数的性质：都过点(1，1)；除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限； 时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+)上是增函数； 时，幂函数图像不过0a 0a(0，0)且在(0，+)上是减函数；任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；（3）指数函数1）定义：形如 ( 且 )的函数叫指数函数；xya012）指数函数的图像见图：用心 爱心 专心 121 号编辑 53）指数函数的性质都过(0，1)点；定义域为 ，值域为 ；R 时，在(-，+
10、)上是增函数； 时，在(-，+)上是减函数；1a01a 时， ； 时， 。01xa 01xxa（4）对数函数1）定义：形如 ( 且 )的函数叫对数函数；logayx012）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线 对称(互为反函数)；yx3）对数函数的性质：都过(1，0)点；定义域为 ，值域为 ；R 时，在(0，+)上是增函数； 时，在(0，+)上是减函数；1a01a 时， ； 时， 。01xy 0xy四、例题1、函数例 1 审查下面四个命题：（） 是函数；（）函数是其定义()21fxx域到值域的映射；（） 和 表示同一函数；（） 和 表示同一函yx2 y0x数；其中正确的有 A、
11、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个解 B用心 爱心 专心 121 号编辑 6注 高中数学中的函数是通过映射来定义的。例 2 函数 的图像是 |xy解 D 函数 可化为 。|xy1,0xy例 3 设 ak0，bc0，在同一坐标系中 y=ax2+c 与 y=kx+b 的图象应是 解 B 由 同号排除 D；由 b，c 异号排除 A，C。,ak例 4 已知函数 满足 ，则 c 的 3()()2xf()fxA、3 B、-3 C、3 或-3 D、不存在解 B 。对任何 成立，2()(6)923cxf xcg 3()2x所以 ，即 。而 ，故所求 。2690cc33例 5 函数 的定义域是 1yxA
12、、 B、 C、 D、无法确定(,0(,0)(,1(,1解 B 解不等式组 得 ，此即所求定义域。1x,)0,例 6 已知函数 ，则 的值 36,()50fx(1)fA、2 B、-15 C、12 D、以上都不对 用心 爱心 专心 121 号编辑 7解 A 因为 ，所以 ，所以 。10(1)360f(1)(532ff注 求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。例 7 如果函数 的定义域是 ，那么函数 的()yfx0,1()(2)01)fxafxa定义域是_。解 0 解不等式 ，得1,2a(01)2xa，所以所求函数定义域为 。()12xa ,2例 8 已知 ，则 等于 。21
13、()2,()(0)xgxfg1()f解 15 令 ，解得 。代入 得()42()xfg。214()5fg例 9若 ，则满足等式 的 的值是_。1()xf(2)()fxmf解 -2 因为 ，所以 。由题设的()xf1。1(2)132xm例 10 设 。若 的值域也为 A，则 b 的值2,(),()1()AbfxA()fx为_。解 3 函数 的对称轴为 ，而 ，故可令 ，即()f (),fb()f，解得 ， 舍去。21()b3b1例 11 已知 是 的函数， ，求函数yx2,4(2),ttttttyR的解析式及其定义域。()yfx用心 爱心 专心 121 号编辑 8解 。因为 ，224(2)()4()4tttttttty xtR所以 ，即 。所以所求函数为 ；其定义域2tttgx()y为 。,)例 12 设 的值域为 ，求 的值。2()()1abfxxR1,4,ab解 设 ，则
