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1、 反比例函数1.反比例函数的概念反比例函数 y= 中的 是一个分式,自变量 x0,函数与 x 轴、y 轴无交点,kxy= 也可写成 y=kx-1(k0),注意自变量 x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数kx问题时应特别注意系数 k0 这一限制条件.2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 y= 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为 0,kx应从 1 或-1 开始对称取点.3.反比例函数 y= 中 k 的意义x注意:反比例函数 y= (k0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线y= (k0)上任意一点引 x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k.kx4.反比例函数经常与一次函数、二次函数
2、等知识相联系.四、中考题型例析1反比例函数的图象例 1 (2003三明)函数 y= (x0)的图象大致是( )1x解析:函数 y= 的图象是双曲线,当 k0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.答案:D.点评:本题主要考查反比例函数的图象.但需注意的是 y= 中的限制条件1x(x0), 即双曲线的横坐标为正.例 2 (2003宜昌)函数 y=kx+1 与函数 y= 在同一坐标系中的大致图象是kx( )yO xAyO xByO xCyO xDyO xAyO xByO xCyO xD分析:明确一次函数 y=kx+1 中的 k 的含义与函数 y= 中 k 的含义是解题的x关键.解:可用排除法,假设
3、 y= 中 k0,双曲线过第一、三象限,则直线 y=kx+1 也x应过第一、第三象限且与 y 轴交于正半轴,故排除 B、D.同理可排除 C,故答案为A.点评:解决同一坐标系中两种函数共存问题,首先明确同一字母系数在不同函数解析式中的含义,切勿出现“张冠李戴”的错误.2.待定系数法确定函数解析式例 3 (2003南充)已知 y 与 x2 成反比例,并且当 x=-1 时,y=2,那么当 x=4时,y 等于( )A.-2 B.2 C. D.-41分析:已知 y 与 x2 成反比例,y= (k0).将 x=-2,y=2 代入 y= 可求得2kx2kxk,从而确定双曲线解析式.解:y 与 x2 成反比例
4、,y= (k0).2当 x=-2 时,y=2,2= ,k=82()ky= ,把 x=4 代入 y= 得 y= .28x28x1故答案为 C.点评:此题主要考查反比例函数概念及待定系数法确定函数解析式.3.反比例函数的应用例 4 (2003天津)如图所示,已知一次函数y=kx+b(k0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点,且与反比例函数 y= (m0)的图象在第一象限交于 C 点, CD 垂直m于 x 轴,垂足为 D.若 OA=OB=OD=1,(1)求点 A、B、D 的坐标;(2)求一次函数和反比例函数的解析式.分析:(1)由 OA=OB=OD=1 可确定 A、B、D 三点坐标.(2)
5、将 A、B 两点坐标分别代入 y=kx+b,可用待定系数法确定一次函数的解析式, 由 C 点在一次函数的图象上可确定 C 点坐标,将 C 点坐标代入 y= 可确定反比kx例函数的解析式.解:(1)OA=OB=OD=1,点 A、B、D 的坐标分别为 A(-1,0),B(0,1),C(1,0).(2)点 A、B 在一次函数 y=kx+b(k0)的图象上, ,解得 , 01kb1kyO xDCBA一次函数的解析式为 y=x+1. 点 C 在一次函数 y=x+1 的图象上,且 CDx 轴,点 C 的坐标为(1,2) .又点 C 在反比例函数 y= (m0)的图象上,m=2.mx反比例函数的解析式为 y
6、= .2一、选择题:(第 5 题为多项选择题)1.(2004沈阳)经过点(2,-3)的双曲线是( )A.y=- B. C.y= D.-6x32x32x2.(2003江西)反比例函数 y=- 的图象大致是( )13.(2003广东)如图,某个反比例函数的图象经过点 P,则它的解析式为( )A.y= (x0); B.y=- (x0)1x1xC.y= (x0)的图象上有三点 A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3( kxx3.y3),已知 x1”或“0)2.解:(1)设 A 点坐标为(x,y),且 x0 则3xSABO = BOBA= (-x)y= 。121232xy=-3.又y= ,即 xy
7、=k,k=-3.kx所求的两个函数的解析式分别为 y=- ,y=-x+2.x(2)由 y=-x+2,令 y=0,得 x=2.直线 y=-x+2 与 x 轴的交点 D 的坐标为(2,0).再由 1223,31yy交点 A 为(-1,3),C 为(3,-1).S AOC =SODA +SODC = 。12()(31)42ODy3.解:(1)设 P= ， 点 A(0.1,1 000)在函数图象上,ks1 000= ,k=100.p 与 s 之间的函数关系式是 p=0.1 0S(2)当 S=0.5m2,p= =200(Pa).54.解:(1)根据题意,AB=x,ABBC=60,所以 BC= 。6xy=203(x+ )+803(x+ ) 即 y=300(x+ ).60x60x0(2)当 y=4 800 时,有 4 800=300(x+ ).整理得 x2-16x+60=0.解得 x1=6,x2=10.经检验,x 1=6,x2=10 都是原方程的根.由 8x12,只取 x=10.所以利用旧墙壁的总长度 10+ =16m.605.解:(1)y= x,010,即空气中的含药量不低于 3 毫克/米 3 的持续时间为 12 分钟,大于 10 分钟的有效消毒时间(如图所示),所以此次消毒有效.x(分 钟 )y(豪 克 )4316O
