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1、不等式含有字母系数的不等式的解法教案教学目标1初步理解含有字母系数不等式求解的基本思路，并让学生了解使用分类讨论方法的起因2培养学生分析、概括能力及运算能力3提高学生思维的严谨性和深刻性教学重点与难点教学重点：含有字母系数不等式的求解基本模式的形成教学难点：分类讨论方法的正确使用教学过程设计（一）引入课题师：我们已经研究了几类基本不等式的解法，今天研究在系数中含有参变数即含有字母系数的不等式的解法（板书：含有字母系数的不等式的解法）（二）讲解新课师：先从一个具体的例子说起（板书）例 1 解关于 x 的不等式（1）ax4师：先请同学们来试解一解师：下面请同学们讨论一下，以上两位同学做法哪个正确生
2、：两种解法都有问题，甲没有讨论是不对的，乙虽然讨论了，但讨论的情况不全，所以都有问题师：为什么一定要讨论呢？要讨论又该怎样讨论呢？生：因为不知道 a 的正负，所以除以 a 后不知道不等号方向是否发生改变，因此需要讨论师：如果能把问题说得再透一点儿，从根源上讲，解关于 x 的不等式即求出 x（）m 的一个不等式，因此需对所给不等式进行变换，而变换为保证等价必须依据不等式的性质，就这个不等式而言，应根据不等式哪条性质呢？（板书）（2）mxn（请学生思考片刻，并提示注意字母 n 带来的变化） 师：根据刚才的讨论，把题目完整地解出来生：解：原不等式（x-a）（x-a2）0当 a0 或 a1 时，a2
3、a，原不等式解集为xa 或 xa2；当 0a 1 时，a2a，原不等式解集为x|xa2 或 xa 当 a=0 或 a=1 时，a2=a，原不等式解集为x|xR 且 xa 师：对于这种类型的不等式也常常用到分类讨论这种方法，但是使用的原因与例 1 是不同的，它是由于对不等式作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论当然这类关于 x 的不等式的一般情形应是 a（x-b）（ x-c）0至于它的求解问题，在例 2 的基础上，让同学们自己课下解决以上两个例题都属于含有字母系数的不等式的基本模式，通过它们的求解，主要了解分类讨论的这种方法在求解过程中怎样适时、适当的使用对这件事是否理解了，请同学们
4、自己做几个题目（经过学生们共同议论，一致认为第（1）小题表述没有问题，此时教师再对此题关键部分作出小结）师：解决此题的关键，一是对 x 前面系数 a 的讨论，二是相应方程两个根 a 和-2a 的大小的讨论，而这二者的讨论最终都统一为 a 与 0 的大小关系的讨论故此题应分为三种情况进行讨论，且当 a 的符号确定之后，不等式可等价化简为（ x-b）（x-c ）0 的形式进行求解下面再看第（2）小题的表述有什么问题生：对数不等式的求解必须先保证真数有意义，所以实际应该解不等式组即师：在具体求解过程中，注意到根据不等式性质，可以等价省去一个不等式以简化计算过程，这一点很好此外，这个题目它也用到了分类
5、讨论，这里使用的原因是什么呢？生：解对数不等式需将其转化为代数不等式，需利用对数函数 f（x）=logax 的增减性，其增减性是以 a1 和 0a1 加以区分的因此需讨论，且讨论 a 的两种情况即可师：这个题目也同样用到了分类讨论这种方法，但使用的原因与以前有所不同，它是由于对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的，这是我们应该引起注意并加以总结的除此之外在整个求解过程中还有没有问题？（让学生议论一下，稍作停顿）生：我觉得最后结果不应该把两种情况的结论并在一起师：能说说理由吗？生：这个题目的讨论是对字母 a 展开的，相当于代表了无数多个不等式的求解问题，所以不同不等式的解不应合
6、并在一起因此最后结论不能并师：这一点谈得很好，也最为重要，对字母 a 的讨论与对 x 的讨论是完全不同的，对字母 a 的讨论，由于 a 的变化，将代表无数多个不等经过我们研究讨论第（2）题的最终结果不应取并，应分别作答，即应写成（板书）接前面过程后给出最后结果：当 a1 时，原不等式解集为（4，）；当 0a1 时，原不等式解集为（2，4）（四）小结师：（1）通过以上几个题目，对一般的含字母系数的不等式的求解思路有了基本了解其中对这个字母的可能取值作分类讨论需作好充分的准备（2）这种准备体现为对分类讨论的使用需解决好何时讨论，讨论什么，怎么讨论，这几个重要环节（3）何时讨论也就是为什么要讨论这件
7、事主要是解决引起讨论的几种重要原因（4）对分类讨论这种方法认识清楚了，才能在给定不等式的等价变换过程中适时，适当地使用，才能准确有效地解决更为复杂的含有字母系数的不等式或不等式组（五）布置作业1解关于 x 的不等式：（a2-1）x（a2+3a2）（b-3）这节课是对不等式求解综合深入研究的课题之一因此这节课教学设计时重在对各类不等式求解过程中一些重要思想方法的应用和理解含有字母系数的不等式的求解，分类讨论这种思想方法是必不可少的很多学生只是知道遇到这类不等式要讨论，而不了解讨论的原因因此在使用时也是盲目的如解关于 x 的不等式：3-2a2xx；对此不等式进行等价变形后得到（ 2a21）x3由于
8、2a21 恒为正，根据2a2+1 或对 a 的符号进行讨论，出现不应有的错误出现这些问题的症结在于对含有字母系数的不等式求解基本思路没掌握，对分类讨论这种方法使用的原因不清楚所以只有从根本上解决求解思路，对分类讨论方法的使用做全面细致深入的研究才能使学生能得心应手进行求解，这也是这节课最核心的内容，为此在例题选择上重在突出思路和方法，而不在于题目有多难，讨论有多复杂例 1 和例 2 就都选择了含有字母系数的不等式中最基本的模式，这样可以尽量减少干扰因素，以突出主要矛盾本节课的练习在安排上有两层含义：一方面巩固前面所学内容，发现问题，解决问题；另一方面也是对分类讨论这种思想方法的深化，是新课的延续，特别是第（2）个练习题，在解答中，不怕学生出错，而是通过分析学生的错误，以巩固对数不等式求解方
