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1、第一节 椭 圆一.基本知识概要1 椭圆的两种定义：平面内与两定点 F1，F 2 的距离的和等于定长 的点的轨迹，即点集 M=P| 21Fa|PF1|+|PF2|=2a， 2a|F 1F2|；（ 时为线段 ， 无轨迹） 。其2121a中两定点 F1，F 2 叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集 M=P| ，0e1 的常数 。 （ 为抛物线； 为双曲线）dPee2 标准方程：（1）焦点在 x 轴上，中心在原点： （ab0） ；2yx焦点 F1（c，0） ， F2（c，0） 。其中 （一个 ）2cRt（2）焦点在 y 轴上，中心
2、在原点： （ab0） ；12xy焦点 F1（0，c） ，F 2（0，c） 。其中 c注意：在两种标准方程中，总有 ab0， 并且椭圆的焦点总在长轴上；2ba两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By2=1 （A0，B0，AB） ，当AB 时，椭圆的焦点在 x 轴上，AB 时焦点在 y 轴上。3.性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点： （a b0）有以下性质：12坐标系下的性质： 范围：|x| a，|y|b； 对称性：对称轴方程为 x=0，y=0，对称中心为 O（0，0） ； 顶点：A 1（-a，0） ，A 2（a，0） ，B 1（0，-b ） ，B 2（0，b） ，长轴|A 1A2|=2a
3、，短轴|B1B2|=2b；（ 半长轴长， 半短轴长） ； 准线方程： ；或cxcy2 焦半径公式：P（x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|= =a+ex0，|PF 2|= =a-左r右rex0；|PF 1|= =a+ey0，|PF 2|= =a-ey0;下r上r caPFcaminmx,平面几何性质： 离心率：e= （焦距与长轴长之比） ； 越大越扁， 是圆。ac1,0e0e 焦准距 ；准线间距cbp2ca2 两个最大角 21max2121max21, ABPAFBPF焦点在 y 轴上，中心在原点： （ab0）的性质可类似的给出（请课后完成）2y。4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆
4、的简单的几何性质。5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。6.特别注意：椭圆方程中的 a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件 a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.二.例题：例 1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cos OFA=2/3。则椭圆方程为_。(2) 设椭圆 上的点 P 到右准线的距离为 10，那么点 P 到左焦点的距离等1302yx于_。(3) 已知 F1 为椭圆的左焦点，A，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点， P 为椭圆上的点
5、，当 PF1F 1A， POAB（O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率 e=_。 （教材 P页例 1） 。9（4）已知椭圆 上的点 P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则 P25yx的坐标是_。解：(1) 椭圆的长轴长是 6，且 cosOFA=2/3 ，点 A 不是长轴的端点。|OF|=c，|AF|=a=3，c=2，b 2=5。椭圆方程是 ，或 。1952yx152yx（2）由椭圆的第二定义得：点 P 到左焦点的距离等于 12。(3) 设椭圆方程为 （ab0）, , F1（c，0） ，则点 ，12yx 2bac),(2abcP由 POAB 得 kAB=kOP 即 ，b=c，故 。2e（4）
6、设 P(x,y),F1,F2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为 ，425x故 ，|PF 1|=2|PF2|， ，故 。xPF45| 419x)19,(P【思维点拨】1)求离心率一般是先得到 a，b，c 的一个关系式，然后再求 e； 2)由椭圆的一个短轴端点,一个焦点,中心 O 为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3）结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。例 2：如图，设 E： （ab0）的焦点为 与 ，且 。12byax1F2 2,1PFE求证： 的面积 。 （图见教材 P119 页例 2 的图）21FPtanS证明：设 ，则 ，2,r cr,
7、si121又由余弦定理有 2cos)(co)( 1221 rrc 2os)2(21ra 4)2s( 2121 bbcar这样即有 S .tnosinics 222bb【思维点拨：解与 有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并)(21为 椭 圆 上 的 点PF结合 来解决。aP1例 3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为原点）的斜率为 ，且 OAOB，求椭圆的方程。2解：设椭圆方程为 ax2+by2=1，A(x 1,y1),B(x2,y2),M( ). 2,11yx由 消去 y 得 . 12baxy 0)(2bxa =
8、1 ,21 21a21 ,由 得 ; 又 OAOB,x 1x2+y1y2=0,即),(baMOMkbx1x2+(1-x1)(1-x2)=0,2x1x2-(x1+x2)+1=0, , a+b=2.021ba）（联立得 方程为 .)(),( )()( 2yx【思维点拨】 “OAOB x1x2+y1y2=0”(其中 A(x1,y1),B(x2,y2)是我们经常用到的一个结论.例 4:（备用）已知椭圆的焦点是 F1（1，0）,F 2（1，0）,P 为椭圆上的一点,且|F 1F2|是|PF1|和|PF 2|的等差中项。 （1）求椭圆方程； （2）若点 P 在第三象限，且P F1F2=1200，求 tan
9、F 1PF2。解：(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。2a=4，b= 。椭圆方程为 。334yx(2)设F 1PF2=,则PF 2 F1=600,由正弦定理并结合等比定理可得到,)6sin(|si|in| 0P)60sin(12i|01PF化简可得 , ,co13i553cota从而可求得 tanF 1PF2= 。5【思维点拨】解与P F1F2 有关的问题（P 为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF 1|+|PF2|=2a 来求解。例 5:（备用） （1）已知点 P 的坐标是(-1,3)，F 是椭圆 的右焦点,点 Q 在椭圆126yx上移动，当 取最小值
10、时，求点 Q 的坐标，并求出其最小值。Q（2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，已知点 P23e这3,0个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 P 的距离是77的点的坐标。解(1)由椭圆方程可知 a=4,b= ,则 c=2, ,3221e椭圆的右准线方程为 x=8 过点 Q 作 QQ 于点 Q,l过点 P 作 PP 于点 P,则据椭圆的第二定义知,leF,21QFP21易知当 P、Q、Q 在同一条线上时，即当 Q与 P点重合时， 才能取得最PQ小值，最小值为 8-(-1)=9，此时点 Q 的纵坐标为-3，代入椭圆方程得 。2x因此,当 Q 点运动到(2
11、,-3)处时, 取最小值 9.F21(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是 0bayx由 ,解得 ,设椭圆上的点(x,y)到点 P 的距离为 d431222abace 21ab则 3433 222 byyyxd其中 ,如果 , 则当 y=-b 时,d 2取得最大值b1227解得 b= 与 矛盾, 故必有 当 时 d2取得最大值，2371b1y解得 b=1,a=2 所求椭圆方程为42b 42x由 可得椭圆上到点 P 的距离等于 的点为 ,1y 713三、课堂小结:1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数 a,b,c,e 的相互关系 ,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).2.在椭圆的两种标准方程中，总有 ab0， 并且椭圆的焦点总在长轴2bac上；3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.四、课外作业：教材 P120 闯关训练
