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1、2010 年“数学解题能力展示”初赛六年级模拟题1 计算：2222222211111435534LLLL【 设 ， ，3a4b则原式 11 25aab2 将 1999 分成 77 个质数之和，要让其中最大的质数和最小的质数相差最少，那么最大的质数与最小的质数的差是 【 ，也就是 说质数里面必须有大于 25 的和小于 25 的， 为了尽量接近，则应当取19725.4接近 25 的质数 23 和 29经检验 ，39 个 23 和 38 个 29 恰好满足所以差最小为 63 五年级 4 个班举行作文竞赛，小明猜想的比赛结果是：3 班第一名，2 班第二名，1 班第三名，4 班第四名小华猜想的名次排列是
2、：2 班、4 班、3 班、1 班结果只有小华猜想到的 4 班为第二名是正确的那么这次竞赛的第一名至第四名依次是 【 根据题意，4 班第 2 是对的；第 1 名不是 3 班也不是 2 班，只能是 1 班；第 3 名不是 3 班，只能是 2班；第 4 名是 3 班即名次 顺序 为：1 班，4 班， 2 班， 3 班4 甲、乙、丙三人去买书，每人都花了整数元，甲花的钱为其他两人花钱总数的 ，乙花的钱是14丙的 ，已知三人花的总钱数在 100150 元之间，那么丙花了 元钱7【 把丙花的钱数看作“1”，那么乙花的就是 ，乙、丙花的钱数之和就是 ，甲花的就是 ，4771728他们三人所花的总钱数就是 ，
3、可 见三人所花的 总钱数是 55 的倍数1528由于 100150 之间只有 110 是 55 的倍数，所以他 们一共花了 110 元，那么丙花了元5106285 9 点 分时，时针和分针分别在“9”的两边，且离“9”距离相等【 由于两针与“9” 距离相等，所以从 9 点整到所求时刻，两针共走 (格)，由于分针每分钟走5941 格，时针每分钟走 格，所以需要 (分钟)，即所求时刻是 9 点 分121745423 74136 如图， 是半径为 6 的圆 上的弦，且 的长度与圆的半径相等， 是圆外的一点，且BCOBCA与 平行，那么图中阴影部分的面积是 ( )OA CBAOCBAO【 由于 与 平
4、行，如果 连接 、 ，那么可以知道 的面积等于 的面积，于是把ABCBCBCOBC求阴影部分的面积转化为求扇形 的面积如右图，连接 、 由于 与 平行，所以 的面积等于 的面积，那么阴影部分的面积就等于扇形OABCABCOBC的面积而 的长度与圆的半径相等，即与 、 相等，所以 是等边三角形，那么为 扇形 的面 积为 ，所以阴影部分的面积为 60260183187 一个非零自然数列，第一项是 8，第二项是 1，从第三项起每一项等于它前面两项之和，那么该数列第 1234 项被 35 除的余数是 【 ，可以通过分别求被 5 和 7 除的余数而得到357被 5 除的余数：3，1，4，0，4，4， 3
5、，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，3，3，1，每 20 项一循环，1234 被 20 除余 14，所以该项 被 5 整除被 7 除的余数：1，1，2，3，5，1， 6，0，6，6，5，4，2，6，1，0，1，1，每 16 项一循环，1234 被 16除余 2，所以该项被 7 除余 1经试验，15 被 5 整除且被 7 除余 1，也就是 说该数列第 1234 项被 35 除余 158 乘积 的计算结果的最后两位数字之和是 4681893L【 原式 579212!7显然其个位为 0，十位为 的个位，即 6所以末两位数字之和是 6!346899 一个整数与 12 的和能整除该整数的平
6、方，那么这个整数最大可能是 【 设原整数为 ，由于 能整除 的平方，所以 是整数，联系平方差公式，x(12)2x21x可知 ，故 是整数，即 整除 144，所以24141(12)x最大为 144， 最大为 ()xx310 甲、乙两个三位数的乘积是个五位数，这个五位数的后四位为 1031，如果甲数的数字和是 10，乙数的数字和是 8，那么甲、乙两数的和是 【 采用弃九法由于甲乙两数的数字和分别为 10 和 8，可知它 们除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以它们的乘积除以 9 的余数为 ，即这个五位数除以 9 的余数为 8，而它的后四位 为 1031，所18以首位必定是 3，这个五位数 为 3
7、1031将 31031 分解质因数： ，要分成两个三位数的乘积，只能是 ，0731(73)()即两个三位数分别为 和 ，它 们的和 为 24217436011 字母 、 、 、 、 、 代表六个不同的数字，且 ，那么ABCabcAaBbCcc的最小值是 abc【 根据题意可知，5432410104104777BAb 整理得： ，2333666Cabc也就是： ，102ABac由于 ，即 ；10001021Aa，即 ；2由 可得 2a2同理可得 ， bCc由于字母 、 、 、 、 、 代表六个不同的自然数，那么 最小为 1，此时 为 2； 最小为 3，a ab此时 为 6； 最小为 4，此时 为
8、 8所以 最小是 216384BAaBbCc12 如果正整数 有如下性质： 的 是一个平方数， 是一个立方数， 是一个五次方数，则 称nn12135n为希望数，那么最小的希望数的约数有 个【 因为尽量小，所以 应当不含有 2，3，5 以外的质因数根据题意， 的质因数分解式中， 2 的幂次n n应该是奇数，且被 3 和 5 整除，可知最小为 15；同理，3 的幂次除以 3 余 1，且能被 2 和 5 整除，最小为 10；5 的幂次除以 5 余 1，且能被 2 和 3 整除，最小为 6，所以最小的希望数为 106所以最小的希望数的约数有 个()()(1712313 有一个十位数是由 0 到 9 这
9、十个数字组成的，而且具有这样的性质：前两位数字组成的数能被2 整除，第二、三位数字组成的数能被 3 整除，第八、九位数字组成的数能被 9 整除，第九、十位数字组成的数能被 10 整除那么这样的十位数有 个【 设这个十位数为 ，则显然 ， ， ， ， 是 2，4，6，8 的一个排列，ABCDEFGHIJ0BDFH因 为 被 4 整除， 被 8 整除，而 和 是奇数，所以 和 是 2 和 6 中的，而 和5E CGB是 4 和 8 中的F被 6 整除，所以 ， 被 7 整除而 是奇数，所以 ， 被 8 整除，所以 ，9H被 9 整除，所以 剩下 ， ，还剩下 1 和 7， 和 怎么取都可以所以，所
10、求的HI3I2AC十位数有 1872549630 及 7812549630，共 2 个14 如图，点 是正方形 边 上的点，以 为一条直角边作等腰直角三角形 ，斜边EABCDBEBEF交 于 ，已知 ， ，那么等腰直角三角形 的面积是 BFG51GBEFAB CDEFGNMHAB CDEFG【 如图，由于 是正方形，而且 ，所以 是 的一个四等分点，将正方形AD:5:13AGDGAD各边四等分并作出格点， 、 为正方形外部的两个格点，其中 MN 5MNAG过 点作 的垂线，则该垂 线将通过正方形 外部的格点 GFB此时 为等腰直角三角形，所以 ；由于 ，所以 点在 上N445EB过 作 的垂线
11、，垂足为 则 与 平行，且 ， ，根据相似性，CHCHN20BC，又 ，所以 :1:4HEB1515E根据勾股定理， ，22204E所以等腰直角三角形 的面积为： F27B15 如果一个正整数能够写成三个大于 1 且两两互质的正整数的和，就称为“奇异数” 把所有的“奇异数”从小到大排成一列，那么第 2009 个“奇异数”是 【 奇异数分成的三个数至多有一个偶数，所以把原数分成奇偶两种情况考虑如果原数是偶数，则因为任何两个 连续奇数互质，只要分成 2 和两个连续奇数或者 4 和两个连续奇数即可，而一个偶数和两个奇数的和至少是 所以，偶的奇异数是 10 及 10 以上23510的所有偶数如果原数是
12、奇数，必须分成三个奇数原数是 3 的倍数时 ，拆成三个连续奇数即可，此时至少是 15，而 9 无法拆分；如果原数不是 3 的倍数，则模仿上面的方法，应该拆成尽量接近的数，即 ， ， 或者 ，n26n， 只要 不是 3 的倍数，就两两互质；如果 是 3 的倍数，只要略加调整即可，即 ，4n6nn 2， 或者 ， ， 28由于三个奇数的和至少是 ，对 15 以后的奇数分 别验证上述情况，可以 发现，除了 17571以外都能表示成三个大于 1 的两两互质的奇数的和所以，奇的奇异数是 15 及 15 以上、除了 17以外的所有奇数所以，奇异数依次写出来是 10，12，14，15，16，18，19，从 18 开始所有的自然数都是奇异数，而 18 是第 6 个奇异数，所以第 2009 个奇异数是 2021
