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1、数系的扩充与复数的引入 备课人：焦阳第四课时课题复数的乘法教学目标一、教学知识点1.理解并掌握复数乘法的运算法则.2.理解并掌握虚数单位 i 的运算律， in 是周期出现的.3.掌握 1 的立方虚根 的运算性质： 2= ,3=1,2+1=0.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：z 2=z = 2.z二、能力训练要求1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.2.会运用 in 和 1 的立方虚根 的运算性质解题.3.灵活运用复数的模与共轭的关系式z 2= 2=z 解题，并深化它的应用.z三、德育渗透目标1.培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力，培养学生实际动手操作（运算、画
2、图）能力.2.培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.教学重点复数的代数形式、乘法运算法则、i n 的周期性变化、1 的立方虚根 的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.教学难点复数的代数形式的乘法运算法则的规定、i n 的周期性规律、 的性质是教学的难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则， “a+ b”
3、问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复2数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构 z = 2= 2 和复数乘法运算所满z足的交换律、结合律和分配律.教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.教学过程.课题导入我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于 i 的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加” 修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主
4、动建构新知识而作好准备).数系的扩充与复数的引入 备课人：焦阳.讲授新课( 一)知识建构师初中学习了多项式乘以多项式，你们能把(a+ b )(c+d )化简吗（a、b、c、d 是2有理数）？积还是无理数吗？生按多项式乘法运算法则展开即可.(a+ b )(c+d )=ac+ad +bc +bd =(ac+2bd)+(ad+bc) .222a、b、c、dQ ,ac,2bd,ad,bc 都是有理数.ac+2bdQ,ad+bc Q.而 是无理数，（a+b ）( c+d )是无理数.2师若将“ ”换为“i”，其中 i 是虚数单位，能化简吗?（a、b、c、d 都是实数）生可以.(a+bi)( c+di)=
5、ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(i 2=-1,才能合并) a、b、c、dR，ac-bd R, ad+bcR. (ac-bd)+(ad+bc)i 是复数.师这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c +di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i2 换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.师实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？生实数中
6、的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即 z1、z 2、z 3C,有(1)z 1z2=z2z1,(2)(z1z2)z3=z1（z 2z3）,(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.师完全正确，你们能证明吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z1=a1+b1i,z 2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3R).生甲z 1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,又
7、 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,z 1z2=z2z1.生乙(z 1z2)z3=( a1+b1i)(a2+b2i)(a 3+b3i)=(a 1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i (a3+b3i)=(a 1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+( b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可证 z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1
8、b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,数系的扩充与复数的引入 备课人：焦阳(z 1z2)z3=z1(z2z3).生丙z 1(z2+z3)=(a1+b1i)( a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)( a2+a3)+(b2+b3)i =a 1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b 1(a2+a3)+a1(b2+b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3
9、+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z 1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究)师同学们，这三位同学证明的是否正确？生 （众生齐声回答）正确！师若复数 z=a+bi(a、bR),求 z .生 =a-bi,z =(a+bi)(a-bi)=a2-b(-b)+a(-b)+b ai= a2+b2+0i=a2+b2.z =a2+b2. 师由 z =a2+b2,你们能想到什么？生 aa 2+b2 是
10、 z 的模的平方，可以得到 z=z 2.生 bz 2=z2.生 c不对.z 2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而z 2=a2+b2,z 2z2.生 d 的模是 ,z =a2+b2,也是 的模的平方，即 z =z 2=z 2.生 e对于实数 a、b,a 2+b2 在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=(a+bi)(a-bi)，其中 i 是虚数单位.生 f两个互为共轭的复数之积是一个非负实数 .师同学们联想的这些内容都是对的.一般地，两个互为共轭复数 z、 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即 z =z 2= 2.通常也可以写成z= = .这个公式很重要
11、，在复数的计算、证明时经常用到，z所以我们要熟练地掌握.对于上述命题的逆命题是否成立呢？生 g成立.因为 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z .z生 h不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z 1=i,z2=-2i,z1z2=i(-2i)=-2i2=-2(-1)=20.但 z1 和 z2 不是共轭复数.师由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？数系的扩充与复数的引入 备课人：焦阳生 i实数集中，有 aman=a m+n;(am)n=amn;(ab)m=ambm.在复数集 C 中，对任何z、
12、z 1、z 2C ,都有 zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)m=z1mz2m. 生 j上述推广中幂指数 m、n 必须满足 m、nN *.师这三条的证明思想是什么？生 k根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.生 i也可以使用数学归纳法进行证明 .师这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.我们知道 i1=i,i2=-1,请问 i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12 分别为什么？生 m分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1.师从这些数中你能总结出什么规律？生 n数列i n是周期数列，最小周期是 4,即如果 n N*,我们有
13、i4n=1,i4n+1=i,i4n+2 =-1,i4n+3=-i.师如果 n 是整数 0 时，是否成立？（片刻，学生开始讨论）生 o成立.因为 i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,师如果 n 是负整数时，上述结论还成立吗？生 P不成立.因为 i-1 没有定义,所以无法推广.生 Q成立.取 n=-m(mN),则i4n=i-4m= = =1,i41i4n+1=i-4m+1= = =i,ii4n+2=i-4m+2 = = =-1,i421i4n+3=i-4m+3= = =-i.i43所以 n 是负整数时，关于 in 的结论也成立 .师由上面讨论,知
14、对一切 nZ,i 4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i 都成立.师前面我们证明过： = + ,由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？21z12z生 r可以类比，对于乘法有21z= .事实上，设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a 2、 b1、b 2R)，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i. = i)()(21=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i.又 =(a1-b1i)(a2-b2i)z数系的扩充与复数的引入 备课人：焦阳=a 1a2-(-b1)(-b2)+ a 1(-b2)+(-b1)a2i=(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i, z= .师这个公式能否推广呢？生 s可以.z 1,z2,znC,则 = zn.nzz.2112师z 1、z 2R,z 1z2与z 1 z 2有何关系？为什么？ （讨论一会儿，开始写写画画）生 tz 1z2=z 1z 2.设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a 2
