初中数学论文：浅析中考几何图形滚动问题的求解

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1、1浅析中考几何图形滚动问题的求解摘要：图形的旋转是新课标的重要内容，当几何图形旋转中心沿着一定轨迹进行运动就产生了滚动问题，它既有利于考查学生的动手操作能力和空间思维能力，又培养了学生的创新意识和综合运用知识的能力，因此成为近年来中考命题的热点。几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。本文着重探讨近几年中考数学题目中几何图形上点在无滑动翻滚过程中经过路线长的解法规律，及滚动过程图形位置变化规律。关健词：无滑动 翻滚 路线长 规律浅析中考几何图形滚动问题的求解纵观

2、近几年中考数学试题，我们发现关于几何图形滚动的问题还真不少，几何图形可以沿着一条直线无滑动地翻滚，也可以沿另一图形内部边缘无滑动翻滚，还可以沿另一个图形外部边缘无滑动翻滚；这个几何图形可以是内角相等的多边形，也可以是圆，还可以是扇形。如何求解中考几何图形滚动的这些问题？下面通过举例加以分析解决。一、滚动过程中图形上点经过的路线长(一)沿着一条直线无滑动翻滚例 1(1)（2008 四川达州市） 如图所示，边长为 2 的等边三角形木块，沿水平线 滚动，则 点从开始至结束所走过的路线长为 （结果保留准确值） (2)(2009 黄冈市)矩形 ABCD 的边 AB=8，AD=6 ，现将矩形 ABCD 放

3、在直线 l 上且沿着 l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置 时1ABCD（如图所示） ，则顶点 A 所经过的路线长是_ 2(3)如图，将边长为 2cm 的正六边形 ABCDEF 的 6 条边沿直线 m 向右滚动（不滑动） ，当正六边形滚动一周时，顶点 A 所经过的路线长是 _。分析 这是同一系列题目，如右图可知：三角形每次翻滚的角度为 120 度，矩形每次翻滚的角度为90 度，正六边形每次翻滚 60 度，三个几何图形每次都是翻滚它的一个外角度数；三角形滚动一周，A 点走了 2 个弧长，圆心角都是 120 度，但半径分别是 AC 和 AB。矩形滚动一周，A 点走了 3 个弧长，圆心角

4、都是 90 度，但半径分别是 AB、AC、AD。正六边形滚动一周，A 点走了 5 个弧长，圆心角都是 60 度，但半径分别是AF 、AE、AD、AC、AB。三个几何图形上 A 点走的路线长度都是圆心角等于它的一个外角，半径分别是以 A 点到其它顶点的距离的弧长之和。解：（1）A 点从开始到结束所走过的路线长度为： 3821802802（2）顶点 A 所经过的路线长 12609691 （3）当正六边形滚动一周时，顶点 A 所经过的路线长 348)2432(1806 180210 规律：角度相等的 n 边形 (n3)，它的一个外角 度，设其中 1 个点到其余的n6n-1 个点的距离分别是 。当它沿

5、着一直线翻滚一周时，这个顶点所经过的121 nll，路线长是 。)(18036 121121 nnll（lln例 2 （2006 黄冈）如图 2，将边长为 8cm 的正方形 ABCD的四边沿直线 L 向右滚动（不滑动） ，当正方形滚动两周时，3正方形的顶点 A 所经过的路线的长是_cm分析 正方形滚动一周的路线长 ，其中 n=4，A 到其它三个顶)(2121 nlln点 C、 D、B 的距离分别是 、8、8。用正方形滚动一周的路线长乘以 2 就可得到正方形滚动两周时，正方形顶点 A 所经过的路线的长。解：当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A 所经过的路线的长是。)2816()82(4例 3(1

6、)（2006 南宁课改）如图， 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点 （ 与 点重O合） 假设硬币的直径为 1 个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点 恰好与数轴上点 重合，则点 对应的实数是 AA(2) （ 08 山东烟台） 9、如图，水平地面上有一面积为 的扇形 AOB，半径 OA= ，且 OA 与地面垂230cm6cm直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至 OB 与地面垂直为止，则 O 点移动的距离为（ ）A、 B、20cC、 D、24c10c30c分析这道题目涉及到圆与扇形在直线上滚动，它们在直线上滚动的长度等于圆心走过的路线长。 （1）硬币滚动一周的周长为 ，圆心走的长度

7、AA= 。 （2）扇形滚动的长度为优弧 AB 的长度，故圆心移动的距离为优弧 AB 的长度。解：（1）点 A对应的实数是(2)优弧 AB 的圆心角为 n 度， ，解得 n=300。所以优弧 AB 的长3062度为 ，故选 C。10863例 4 已知：圆心角为 30 ，半径为 3 的扇形AOB 如图所示，先绕点 A 顺时针旋转 90 ，再沿直线 m 作无滑动的滚动后，再绕点 B 旋转 90到达如图扇形 AOB的位置，则点 O 所经过的总路程长是_. OOOAOBB4分析这道题有图形绕某点的旋转，也有扇形沿直线翻滚，如右图可知：O 经过了三段路线，一段是以 A 为圆心，圆心角为 90 度， OA

8、为半径的扇形弧长，长度为；中间一段是弧 AB 在直线 m 上翻滚时，O 点经过的路线长 OO”，因为扇形18039OAB 所在的圆始终与直线 m 相切，所以 O 点到直线 m 的距离始终等于半径，故 OO”是一条线段，长度等于弧 AB 的长度 ；最后一段是以 B为圆心，圆心角1803为 90 度，OB 为半径的扇形弧长，长度为 。9解 ： 点 所 经 过 的 总 路 线 长+ + =1803918039271803)(规 律 ： 如 果 将 此 题 中 扇 形 圆 心 角 改 为 n 度 ， 半 径 设 为 r， 其 余 条 件 不 变 ，则 圆 心 O 所 经 过 的 总 路 线 长 是 。

9、r)()9(二)沿着一图形内部边缘无滑动翻滚例 5 （2007 年连云港）正 的边长为 ，边长为ABC 3cm的正 的顶点 与点 重合，点 分别在 ，1cmRPQ PQ， AC上，将 沿着边 顺时针连续翻转（如图所AB ， ，示） ，直至点 第一次回到原来的位置，则点 运动路径的长为 （结果保留 ）c解析：如右图可知，P 点运动的路径包括三段弧长，这三个弧长的半径都是等边三角形 PQR 的边长 1，圆心角都是 120 度，所以点 P 运动路径的长度相当于一个半径为 1 圆的周长 2 。(三)沿着一图形外部边缘无滑动翻滚例 6(2009 年河北)拓展联想：（1）如图 13-4， ABC 的 周

10、长 为 l， 周 长 为 c 的 O 从 与 AB相 切 于 点 D 的 位 置 出 发 ， 在 ABC 外 部 ， 按 顺 时 针 方 向沿 三 角 形滚 动 ， 又 回 到 与 AB 相 切 于 点 D 的 位 置，O 自转了多少周？请说明理由（2）如图 13-5， 多 边 形 的 周 长 为 l， 周 长 为 c 的 O 从 与某 边 相 切 于 点 D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向()R PQ(R) P2P1CBAD图 13-5OOABC图 13-4D5沿多边形滚动，又回到与该边相切于点 D 的位置，直接写出O 自转的周数分析(1)圆 O 自转的周数等于圆 O 走的路线长除以

11、圆 O 的周长，要求圆 O 自转的周数，关键是求圆 O 经过的路线长O1O 2O 3O 4O 5O 6O 1，如右图所示。其中O1O6=AC，O 2O3=BC，O 4O5=AB，O 1O6+ O2O3+ O4O5= 。另l外弧 O1O2、弧 O3O4、弧 O5O6 半径都等于圆 O 的半径，但圆心角分别是ACB 的外角、 CBA 的外角、 BAC 的外角，因为多边形外角和为360 度，故弧 O1O2+弧 O3O4+弧 O5O6=圆 O 周长 c则 O 点走的路线长等于三角形的周长 l 与 圆 O 周 长 之 和 。(2) 因为多边形外角和等于 360 度，点 O 在多边形各顶点处旋转的弧长总和

12、为圆O 的周长 c，所以 圆 O 在 多 边 形 外 部 滚 动 一 周 回 到 原 来 位 置 时 ， 点 O 所 走 的 总 路 线 长等 于 （ +c） 。l解：（1）三角形的外角和是 360，点 O 在三个顶点旋转角度之和为 360 度，所经过的路线长为圆 O 周长 c。ABC 的周长为 l，O 在三边上自转时 O 点经过的路线长为 l，所以 O 点经过的总路线为（ +c） ， O 共自转了 （周） l 1cll（2） c+1二、滚动过程图形位置变化规律例 7(1)如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图甲位置滚动到图乙的

13、位置时，线段 OA绕点 O 顺时针转过的角度为_度。(2)（2007 年日照）如图，正方形 ABCD 的边长是 3cm，一个边长为O5 O4O6 O3O2O1CA BO61cm 的小正方形沿着正方形 ABCD 的边 ABBCCDDAAB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) 分析 (1)OA 绕点 O 顺时针转过的角度就是小正六边形沿着大正六边形边缘顺时针滚动角度之和，如右图所示，小正六边形滚动角度总和为 60+120+60=240，所以线段 OA 绕点 O 顺时针转过的角度为 240 度。(2)小正方形从点 A 出发顺时针绕着大正方形边缘翻滚一周，回到起始位置时

14、，它的方向改变情况取决于它总共转过的角度，若它共转过的角度是 360整数倍，则它方向与原小正方形相同；若它共转过的角度不是 360整数倍，则它方向改变，设它共转过的角度被 360整除的余数为 n，则它方向相当于将原小正方形方向顺时针旋转 n 度时情况。因此，解决此题的关键是求小正方形共转过的角度。如右图所示，小正方形从大正方形一边端点位置转到大正方形另一邻边端点位置，转过角度为 390+90，小正方形每次翻滚 90 度（小正方形的一个外角） ，在 B 处要旋转到 BC 边，还要旋转大正方形一个外角 90 度。小正方形第一次回到起始位置时，它共翻滚的角度为 4（390+90） ，是 360整数倍

15、，所以它的方向与原小正方形相同，故选 B。规律：若一个正 n 边形沿着一个边长为它 a 倍（a 为整数）的正 m 边形外部边缘顺时针旋转，第一次回到起始位置时，它共转过的角度为，若 ma 为 n 的整数倍，则它的方向与原来一致。360)360(maanm例 8如图，正方形 ABCD 的边长是 2cm，一个边长为 1cm 的小正三角形沿着正方形 ABCD 的边 ABBCCDDAAB 连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向是( ) （A） （B） （C） （D）BCDA1206060BACD DCBA BACD7分析这里 n=3，a=2 ，m=4，小正三角形共转过角度为 度，13206340它除以 360 度的余数为 240，此时它的方向相当于原正三角形顺时针旋转 240，故选 C。右图通过正三角形翻滚展示过程也说明答案的正确性。例 8(1) (2008 泰安) 如图，将边长为 1 的正三角形 沿 轴正方向连续翻转 2008 次，点 依次落在点 的位置，则点 的横坐标为 (2) (2006 绍兴)如图，将边长为 1 的正方形 OAPB沿 x 轴正方向连续翻转 2 006 次，点 P 依次落在点P