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1、 本科生毕业论文题目简化行列式计算的几种方法姓名常 素 芹 学号 201110520202 院 系数 学 系 专业数学与应用数学 指导教师薛 丽 红 2015 年 6 月教务处制本科生毕业设计（论文、创作）声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本设计创作声明的法律责任由本人承担。作者签名：年 月 日本人声明：该毕业论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业论文的全部
2、内容，保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。指导教师签名：年 月 日目录摘要 .2关键词 .2Abstract. .2Keywords .2引言 .3一、常用行列式计算方法 引言 .31.1 化三角形法 .31.2 加边法 .3二、行列式的几种特殊计算技巧和方法 .42.1 拆行（列）法 .42.2 构造法 .62.3“爪”字型行列式 .72.4“两线”型行列式 .72.5“三对角”型行列式 .82.6 范德蒙行列式 .9三、行列式的计算方法的综合运用 .93.1 降阶法和递推法 .93.2 行列式与多项式的综合计
3、算 .103.3 行列式与矩阵的综合计算 .113.4 行列式在解线性方程组中应用 .12参考文献 .140摘要:行列式起源于解二、三元线性方程组，它是高等代数中一个基本概念，而行列式的应用早已超过了代数的范围，成为研究数学领域各分支的基本工具，本文主要对行列式的计算方法进行总结归纳，得出与每种计算方法相适应的行列式的特征，并对行列式的应用做一定范围的探讨。关键词:行列式 技巧 计算方法Abstract:The determinant originated in the solution of two or three binary linear equations, it is a basi
4、c concept in higher algebra, it has already exceeded the column of the application type algebra range, become the basic tools for the study of mathematics branch, the calculation method of the determinant are summarized, the characteristics of the determinant and adapt to each kind of calculation me
5、thod the study and application of determinant, a certain range.Keywords: Determinant；skill；Calculation method；1引言:行列式是高等代数课程中很重要的一章，在解线性方程组、矩阵及三重坐标变换时都有很重要的作用，鉴于此，我对高代课本上行列式的一些基本解题技巧进行归纳，并且在此基础上有所创新。作为行列式本身而言，通过它的定义和性质我们可以找到一些基本解题方法，然而通过观察我们发现有很多特殊行列式，对多种形式行列式我们通过加边法、降阶法、拆行法等可以转换为一些常见行列式，这样计算起来简单方便。
6、另外，行列式应用广泛，与数学分析、解析几何等学科有许多交叉点，所以，行列式的运算显得尤为重要。一、常用行列式计算方法高等代数课本上根据行列式的定义和性质给出一些基本计算方法，如定义法、化三角形法、连加法、降阶法、递推法、加边法、数学归纳法、拉普拉斯展开等，我们下面详细介绍一下化三角形法和加边法，其余方法不再一一赘述。1.1 化三角法化三角形法：即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式上三角形行列式的形式如下：，nnaaaaKLMO213322110下三角形行列式同上三角行行列式注：能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能多的相同的
7、元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多的零,进而化为三角形。1.2 加边法就是把 n 阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法。当然，有的行列式需要升阶两次。升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利2用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果，其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置例 1 解行列式 D= .322232LMOL解：使行列式 D 变成 阶行列式，即1n= .1-2-2032203LMO
8、-2010LMOL.1010nLMOL2n二、行列式的几种特殊计算技巧和方法2.1 拆行（列）法拆行（列）法（或称分裂行列式法） ，就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值，拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3例 2 计算行列式 .nnn aaa1000101D32LMOML解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nnn aaa100011D32LMOML2 23 31 11000.00n nn naaa LMOMMOLL上面第一个行列式的值为
9、 1，所以 nnn aa1001D32LMOM.1na这个式子在对于任何 都成立，因此有21nnDnnaaa LLL21212 .iji1n142.2 构造法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值。例 3 求行列式 .nnnnxxxxDLML212211解：虽然 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 阶的范德蒙德行列式来间n 1接求出 的值D构造 阶的范德蒙德行列式，得1.nnnxxxxfLMOML21 122121将 按第 列展开，得f， nnnn xAxxAxf 1,1,1,21, L其中， 的系数为1nx.nnnD11,又根据范德蒙德行列式
10、的结果知.nijjxxxxf 121L由上式可求得 的系数为1n.nijjxx121故有5.nijjn xxD121L2.3“爪”字型行列式形如 ， ， ，nnnacbaOML2210 ncabMN2210nnnbaacLN210这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行0122abcanL列式利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线” ，均可把行列式化成“三角形”行列式。例 4 计算行列式 ，其中01200naaLMOL0,1,2.i nL解: 012naaL1210ni na.1201niaL2.4“两线”型行列式形如 这样的行列式叫做“两线型”行列式nnabbabLM0121
11、6对于这样的行列式，可通过直接展开法求解例 6 求行列式 .nnabbabLML00D121解：按第一列展开，得.121121 00 nnnn bababaDLMOLOMnnnbaLL2122.5“三对角”型行列式形如 这样的行列式，叫做“三对角型”行列baabba10001LMOM式对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明例 7 求行列式 .baabban 100010DLMOML解：按第一列展开，得. bababaDbann 1000101 LMOM21nnabD变形，得7.211DnnnaDba由于 ，221,babD从而利用上述递推公式得.211nnnannnn baba1232L故 nnnnnnn DbaDbD 121121.a1L2.6 范德蒙行列式形如 这样的行列式，成为 级的范德蒙德行列式，通过数1132122231nnnnaaLMOn学归纳法证明，可得 .1132122231 ijjnnnnaaaL例 8 求行列式. 31xyzD231xyzxyzz= =211()xyzx zxyx三、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，8且行列式和
